第7讲紧性与有限维空间可分性 教学目的:掌握单位球的紧性与空间维数的关系,以及可分的概念 授课要点: 有限维空间的同构性 2、有限维空间单位球的紧性特征 3、可分性与可分空间。 现在让我们转到有限维空间的特殊性质.在上一讲推论3中已经知道,对于有限维空间 来说,判别紧集的条件十分简单.实际上我们将会看到,这种情况是有限维空间所独有的.这 里我们先给出一个同构性定理,在第4讲中我们曾定义了两个空间同构的概念 定理1设X,Y是线性赋范空间,T:X→Y是到上的线性映射,则T是X到Y上的 同构当且仅当存在正数a,b使得 ax|‖Tx|bx‖,vx∈X (1) 若X与Y同构,当一个是完备空间时,另一个也是 证明充分性.若对于任意的x∈X所说的不等式成立,则当x1=Tx2时, ax1-x2|‖T(x1-x2)‖=0, 从而x1=x2,T是一一的.若xn,x∈X,xn→x,则 ‖Txn-Tx|b‖xn-x|→0,Txn→Tx, T是连续的.若yn,y∈Y,yn→y,不妨设y=Ixn,y=Tx,则 dr-yn-Tya‖xn-x|‖Tx-7x|=yn-y>0, 于是T-yn→Ty,T连续.总之X,Y同构 必要性.设T是从X到Y上的同构映射,若不存在b>0使得‖xbxl(x∈X),此 时对于任意的n,有xn∈X,‖Txn|川xn‖,令第 7 讲 紧性与有限维空间 可分性 教学目的：掌握单位球的紧性与空间维数的关系，以及可分的概念。 授课要点： 1、 有限维空间的同构性。 2、 有限维空间单位球的紧性特征。 3、 可分性与可分空间。 现在让我们转到有限维空间的特殊性质．在上一讲推论 3 中已经知道，对于有限维空间 来说，判别紧集的条件十分简单．实际上我们将会看到，这种情况是有限维空间所独有的．这 里我们先给出一个同构性定理，在第 4 讲中我们曾定义了两个空间同构的概念． 定理 1 设 X ，Y 是线性赋范空间，T : X →Y 是到上的线性映射，则T 是 X 到Y 上的 同构当且仅当存在正数 a ，b 使得 a || x ||≤||Tx ||≤ b || x || ，∀x ∈ X ． （1） 若 X 与Y 同构，当一个是完备空间时，另一个也是． 证 明 充分性．若对于任意的 x∈ X 所说的不等式成立，则当Tx1 = Tx2 时， a || x1 − x2 ||≤||T(x1 − x2 )||= 0 ， 从而 1 2 x = x ，T 是一一的．若 xn , x∈ X ， x x n → ，则 ||Txn −Tx ||≤ b || xn − x ||→ 0，Tx Tx n → ， T 是连续的．若 n y ， y ∈Y ， y y n → ，不妨设 n Txn y = ， y = Tx ，则 || || || || || || || || 0 a T −1 yn −T −1 y = a xn − x ≤ Txn −Tx = yn − y → ， 于是T y T y n −1 → −1 ， −1 T 连续．总之 X ，Y 同构． 必要性．设T 是从 X 到Y 上的同构映射，若不存在b > 0 使得||Tx ||≤ b || x || (∀x∈ X ) ，此 时对于任意的 n ，有 xn ∈ X ，|| || || || n n Tx > n x ，令