第十二讲r函数 第5页 8123ψ函数 中函数是r函数的对数微商 中()=dr(2)r() 根据r函数的性质,可以得出ψ(2)的下列性质 1.z=0,-1,-2,…都是ψ(2)的一阶极点,留数均为-1;除了这些点以外,中(2)在全平面 解析 2.中(z+1)=中(2)+ ψ(z+n)=中(2)+-+ 2+n-1=2,3 3.中(1-2)=u(2)+ cot 72 4.中(x)-中(-2)=---丌cotz 5.中(2)=中(2)+中(2+)+m2 6()~2-2-2+1027-2x+…,,m< 7.Iim[(2+n)-ln=0 ψ函数的特殊值有 u(1)=-, -2In2 ln2+2 中()=-7-2-32,中()=-7+2-3m2 ln3./中 常-2 其中=-(1)是数学中的一个基本常数,称为Eler常数 7=0.57721566490153286060651209008240 它的定义是 ★利用中函数,可以方便地求出通项为有理式的无穷级数 p(n) nWu Chong-shi ￾✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 5 ✞ §12.3 ψ ✍ ✎ ψ ✕✖✢ Γ ✕✖✗t ✖➉➊ ψ(z) = dln Γ (z) dz = Γ 0 (z) Γ (z) . ☛☞ Γ ✕✖✗➈♥ ✬ ❤ ▲ ➂➟ ψ(z) ✗ú➋➈♥➳ 1. z = 0, −1, −2, · · · ➌✢ ψ(z) ✗❆❣➍⑩ ✬ ➨✖❶★ −1 ❆➎⑤ ✣➏ ⑩ ▲➐✬ ψ(z) ❋ ❝❞❡ ✴❢✵ 2. ψ(z + 1) = ψ(z) + 1 z . ψ(z + n) = ψ(z) + 1 z + 1 z + 1 + · · · + 1 z + n − 1 , n = 2, 3, · · · . 3. ψ(1 − z) = ψ(z) + π cot πz. 4. ψ(z) − ψ(−z) = − 1 z − π cot πz. 5. ψ(2z) = 1 2 ψ(z) + 1 2 ψ  z + 1 2  + ln 2. 6. ψ(z) ∼ ln z − 1 2z − 1 12z 2 + 1 120z 4 − 1 252z 6 + · · · , z → ∞, | arg z| < π. 7. limn→∞ ψ(z + n) − ln n = 0. ψ ✕✖✗➑➒♣❷ ψ(1) = −γ, ψ 0 (1) = π 2 6 , ψ  1 2  = −γ − 2 ln 2, ψ 0  1 2  = π 2 2 , ψ  − 1 2  = −γ − 2 ln 2 + 2, ψ 0  − 1 2  = π 2 2 + 4, ψ  1 4  = −γ − π 2 − 3 ln 2, ψ  3 4  = −γ + π 2 − 3 ln 2, ψ  1 3  = −γ − π 2 √ 3 − 3 2 ln 3, ψ  2 3  = −γ + π 2 √ 3 − 3 2 ln 3. ➓ ✤ γ = −ψ(1) Ù ❐ ➔ ✤➱ë✎→➣↔❐ ✬↕á Euler ↔ ❐ γ = 0.5772 1566 4901 5328 6060 6512 0900 8240 · · · . ➙➱❒❮Ù γ = limn→∞ "Xn k=1 1 k − ln n # . F ➛✚ ψ ✕✖✬ ❤ ▲ ➽➜ ⑨➝➟➞➟★❷✳➾✗■❏þ✖ X∞ n=0 un = X∞ n=0 p(n) d(n)