习题15.2含参变量的反常积分 1.证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛: cos xy-dx,y≥a>0 (2) eax,0≤a≤a x+a (3 xsin x4 cos aard,a≤a≤b。 解(1)因为 而 d收敛,所以由 x+a Weierstrass.判别法,∫"在a+)上一致收敛 (2)asm2x≤1,即「sm2z关于a∈[0a]一致有界;关于x x+a 单调,且由e≤,可知当x→+∞时,关于ae[a]一致趋于 x+a x x+a 零。于是由Diet判别法,可知厂"2c“在a∈a]上一致收 敛。 (3)由分部积分法, xsin x cos axdx cosaxcosx' 1r+o asin axcosx I r to coax co 其中 cos ax cos x 再由 a sin a cos x max 及 COS aar cos x4 ≤,可得到 + sin ax cosx4 dr)< max(al, b) +o 1 max(al b) A 与 +op cos ax cos x dx≤ 242 当A→+∞时,上述三式关于a在ab上一致趋于零,所以原积分关于 a在[a,b上一致收敛。 2.说明下列含参变量反常积分在指定区间上非一致收敛:习 题 15.2 含参变量的反常积分 1. 证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛： （1）∫ +∞ + 0 2 2 cos dx x y xy ，y ≥ a > 0； （2）∫ +∞ − 0 + sin 2 e dx x x αx α ，0 ≤ α ≤ α 0 ； （3）∫ ， +∞ 0 4 x sin x cosαxdx a ≤α ≤ b。 解 （1）因为 ≤ +2 2 cos x y xy 2 2 1 x + a ，而 ∫ +∞ + 0 2 2 1 dx x a 收敛，所以由 Weierstrass 判别法，∫ +∞ + 0 2 2 cos dx x y xy 在[a,+∞)上一致收敛。 （2） sin 2 1 0 ≤ ∫ A xdx ，即 0 sin 2 A xdx ∫ 关于 [0, ] α ∈ α 0 一致有界； α α + − x e x 关于 单调，且由 x x x e x 1 ≤ + − α α ，可知当 x → +∞时， α α + − x e x 关于 [0, ] α ∈ α 0 一致趋于 零。于是由 Dirichlet 判别法，可知∫ +∞ − 0 + sin 2 e dx x x αx α 在 [0, ] α ∈ α 0 上一致收 敛。 （3）由分部积分法， 4 4 2 1 cos sin cos cos A A 4 x x x xdx d x x α α +∞ +∞ = − ∫ ∫ 4 4 2 2 cos cos 1 sin cos 1 cos cos 4 4 A A 2 A x x x x x x dx dx x x α α α α +∞ +∞ +∞ = − − − ∫ ∫ 4 3 x , 其中 2 2 cos cos 1 A x x x A α +∞ ≤ ； 再由 2 2 4 sin cos max( , ) x a b x x x ≤ α α 及 3 3 4 cos cos 1 x x x x ≤ α ，可得到 4 2 2 sin cos 1 max( , ) max( , ) A A x x a b dx a b dx x x +∞ α α +∞ ≤ = ∫ ∫ A 与 4 3 3 cos cos 1 1 A A 2 x x dx dx 2 x x A +∞ α +∞ ≤ = ∫ ∫ 。 当 A → +∞时，上述三式关于α 在[a,b]上一致趋于零，所以原积分关于 α 在[a,b]上一致收敛。 2．说明下列含参变量反常积分在指定区间上非一致收敛： 1