李康强等：选代生成微分方程分解方法研究 ·1577· 时会产生失真，造成端点效应.而且随着迭代运算的 (2)对延拓信号(t)进行生成微分方程解调得 不断增加，这种“失真”会不断累积造成“失真扩 ω(t)和a(t): 散”.而且由于迭代生成微分方程分解方法是利用 (3)在线性时不变调幅调频信号中，由于调制信 差分和差商对离散信号进行处理分析，所以在端点 号相对于载波是缓变的，而载波频率是恒定的，所以对 处可能会出现异常值，利用信号延拓法可以有效解 于整个频率ω(t)可以近似为常数，对w(t)通过零相 决端点效应问题.对原始信号x(:)进行如下对称延 位低通滤波得到w,(t),本文中截止频率选为1Hz.以 拓可得 ω，(t)作为截止频率，对x(:)利用零相位高通滤波器 e=[x(N-N+2)xx(N-N)].(16) 滤波得到第一个分量a,(t); 其中N为原信号的长度，N。为延拓的长度，N=1,2, (4)令x,(t)=x(t)-a,(t)作为下次迭代的初始 …,N 值，重复步骤1~3，从而完成第二次分解.以此类推， 延拓之后信号长度为N+2N。,所以第一次滤波完 进行N次迭代后完成分解.为了保证收敛性，第i次 成后需要对延拓信号进行剪切处理恢复原长度，在下 迭代的幅值应当为零均值信号，而且当分解出的a:(t) 一次迭代之前重新进行延拓，直至迭代结束. 的能量与原始信号的能量的比值小于阈值K时，即 迭代生成微分方程分解方法具体步骤为： (1)首先对原始信号x()进行对称延拓得延拓信 Emeg(a<K,迭代终止.本文取K=0.1. Energy(x(t)) 号(t); 方法流程如图1所示. 延拓 d(0 GDE 低通滤波器 作为截止频率 高通滤波器 能量判断 >0.1 K<0.1 结束 图1迭代生成微分方程分解方法流程 Fig.1 Procedure of the IGDED method 3仿真信号分析 为了验证迭代生成微分方程分解方法的效果及优 势，分别构造不同形式的仿真信号来与传统分解方法 进行对比分析. 3.1正弦分量仿真分析 首先构造包含三个正弦分量的仿真信号来验证本 1.001.051.101.151.201.251.301.351.401.451.50 方法，振动信号模型如下 时间s x,(t)=1cos(2T1551), 图2仿真信号 x2(t)=2cos(2π…81t), Fig.2 Simulation signal (17) x3(t)=3c0s(2π37)， 号分解的第一、二、三分量和4种不同方法的分解结果 x=x1+x2+x3 分量的对比.从图3中可以看出，迭代生成微分方程 加入信噪比为15dB的高斯白噪声，仿真信号时 分解方法、经验模式分解方法和希尔伯特振动分解方 域波形如图2所示. 法分解出的第一个分量的波形相近，但是由于加人了 分别用迭代生成微分方程分解方法、经验模式分 噪声，都分别出现不同情况的幅值调制.迭代生成微 解方法、希尔伯特振动分解方法和迭代希尔伯特变换 分方程分解方法与经验模式分解方法分解效果近似， 方法对原信号进行分解，如图3~5所示，分别是原信 但是经验模式分解方法出现中间断层状况和端点效应李康强等: 迭代生成微分方程分解方法研究 时会产生失真,造成端点效应. 而且随着迭代运算的 不断增 加,这 种 “ 失 真冶 会 不 断 累 积 造 成 “ 失 真 扩 散冶 . 而且由于迭代生成微分方程分解方法是利用 差分和差商对离散信号进行处理分析,所以在端点 处可能会出现异常值,利用信号延拓法可以有效解 决端点效应问题. 对原始信号 x( t) 进行如下对称延 拓可得 x寛 = [x(Ne - Nei + 2) x x(N - Nei)]. (16) 其中 N 为原信号的长度,Ne 为延拓的长度,Nei = 1,2, …,Ne . 延拓之后信号长度为 N + 2Ne,所以第一次滤波完 成后需要对延拓信号进行剪切处理恢复原长度,在下 一次迭代之前重新进行延拓,直至迭代结束. 迭代生成微分方程分解方法具体步骤为: (1)首先对原始信号 x(t)进行对称延拓得延拓信 号 x寛(t); (2)对延拓信号 x寛( t) 进行生成微分方程解调得 棕(t)和 a(t); (3)在线性时不变调幅调频信号中,由于调制信 号相对于载波是缓变的,而载波频率是恒定的,所以对 于整个频率 棕( t)可以近似为常数,对 棕( t)通过零相 位低通滤波得到 棕1 (t),本文中截止频率选为 1 Hz. 以 棕1 (t)作为截止频率,对 x( t) 利用零相位高通滤波器 滤波得到第一个分量 a1 (t); (4)令 x1 (t) = x(t) - a1 ( t)作为下次迭代的初始 值,重复步骤 1 ~ 3,从而完成第二次分解. 以此类推, 进行 N 次迭代后完成分解. 为了保证收敛性,第 i 次 迭代的幅值应当为零均值信号,而且当分解出的 ai(t) 的能量与原始信号的能量的比值小于阈值 资 时,即 Energy(ai(t)) Energy(x(t)) < 资,迭代终止. 本文取 资 = 0郾 1. 方法流程如图 1 所示. 图 1 迭代生成微分方程分解方法流程 Fig. 1 Procedure of the IGDED method 3 仿真信号分析 为了验证迭代生成微分方程分解方法的效果及优 势,分别构造不同形式的仿真信号来与传统分解方法 进行对比分析. 3郾 1 正弦分量仿真分析 首先构造包含三个正弦分量的仿真信号来验证本 方法,振动信号模型如下 x1 (t) = 1·cos (2仔·155t), x2 (t) = 2·cos (2仔·81t), x3 (t) = 3·cos (2仔·37t), x = x1 + x2 + x3 ì î í ï ï ï ï . (17) 加入信噪比为 15 dB 的高斯白噪声,仿真信号时 域波形如图 2 所示. 分别用迭代生成微分方程分解方法、经验模式分 解方法、希尔伯特振动分解方法和迭代希尔伯特变换 方法对原信号进行分解,如图 3 ~ 5 所示,分别是原信 图 2 仿真信号 Fig. 2 Simulation signal 号分解的第一、二、三分量和 4 种不同方法的分解结果 分量的对比. 从图 3 中可以看出,迭代生成微分方程 分解方法、经验模式分解方法和希尔伯特振动分解方 法分解出的第一个分量的波形相近,但是由于加入了 噪声,都分别出现不同情况的幅值调制. 迭代生成微 分方程分解方法与经验模式分解方法分解效果近似, 但是经验模式分解方法出现中间断层状况和端点效应 ·1577·