第五节极限的运算法则 习题 1.下列运算是否正确,为什么? (1)lim(-+ n→∞nn+1 n+n =0+0+…+0=0 ()m(kx+-√x-1)= x+1-lin (3) lim xsin -= limx. lim\t0 解(1)不正确,因为只有有限个数列和的极限(且这有限个数列的极限都存 )才等于它们极限的和 (2)不正确,因为只有当两函数极限都存在时,才有两函数差的极限等于它们 极限的差 (3)不正确,因为msn不存在 2.计算下列各极限 (2)lim(1 ); (3) lim n3-n+3 n→∞122.3 n(n+1) m2+1-m2-2n) (n+1)(2n+1)(3n+1) 解(1)lim 1+2+3 (n-1) n→① (2)lm(1+++…+一)=lim →, =m21-(2y")1 第五节 极限的运算法则 习 题 1-5 1. 下列运算是否正确, 为什么? (1) 11 1 lim ( ) n→∞ n n nn 1 + ++ + + " 11 1 lim lim lim nn n →∞ →∞ →∞ n n nn 1 = + ++ + + " =++ += 00 00 " ; (2) lim ( 1 1) lim 1 lim 1 0 x xx xx x x →+∞ →+∞ →+∞ + − − = + − − =∞−∞= ; (3) 0 00 1 1 lim sin lim lim sin 0 x xx x x → →→ x x =⋅ = . 解 (1) 不正确, 因为只有有限个数列和的极限(且这有限个数列的极限都存 在)才等于它们极限的和. (2) 不正确, 因为只有当两函数极限都存在时, 才有两函数差的极限等于它们 极限的差. (3) 不正确, 因为 0 1 lim sin x→ x 不存在. 2. 计算下列各极限: (1) 2 1 2 3 ( 1) lim n n →∞ n + ++ + − " ; (2) 11 1 lim (1 ) 2 4 2n n→∞ +++ + " ; (3) 2 3 5 23 lim n 3 n n →∞ n n + + − + ; (4) 11 1 lim ( ) n→∞ 1 2 2 3 ( 1) n n + ++ ⋅ ⋅ + " ; (5) 2 2 lim ( 1 2 ) n n nn →∞ +− − ; (6) 3 ( 1)(2 1)(3 1) lim n 3 nnn →∞ n + + + . 解 (1) 2 1 2 3 ( 1) lim n n →∞ n +++ + − " 2 ( 1) 2 1 lim n 2 n n →∞ n − = = . (2) 1 1 1 1 (1 ( ) ) 11 1 1 2 lim (1 ) lim lim 2(1 ( ) ) 2 24 2 2 1 1 2 n n n n nn + + →∞ →∞ →∞ ⋅ − + ++ + = = − = − "