·336 智能系统学报 第4卷 究的方方面面，文献[7-8]将贝叶斯网络和核方相结 Ic(X;YIZ)表示给定变量集Z时，变量集X和 合，研究了基于图表模型的数据分类理论，文献[4] Y中任何2个变量之间不存在激活路，即称给定变 将贝叶斯网络和粗糙体相结合，研究了数据特征提 量集Z时，X和Yd-可分（或d-分割）.非d-可分表 取问题 示为Ie(X;YIZ).Ip(X;YIZ)表示给定变量集Z, 本文针对布尔域上的贝叶斯网络，提出了贝叶 变量集X和Y独立，即P(X;YIZ)=P(XIZ),不独 斯网络上分布延拓的概念，得出忠实分布与非忠实 立表示为Lp(X;YIZ).对于分布P,如果由Ie(X;Y 分布的平凡延拓均是非忠实分布.本文接下来的一 IZ)可得到I(X;YIZ),则称有向非循环图G=（V, 节是基本概念和术语；第2节是本文的主要结论；第 E)上的分布P是马尔可夫分布(Markov distribu- 3节是本文的总结 ion).反之，如果由Ip(X;YIZ)可得到Ic(X;YIZ), 1背景知识 则称P是定义在有向非循环图G上的完美分布 (perfect distribution).对于满足马尔可夫条件的贝 本节介绍一些基本概念和术语1,6.详细内容 叶斯网络B=(G,),由文献[6]知当Ie[X;YIZ]成 可参考文献[6]. 立时，必有I(X;YIZ)成立.由于文献[2]已证得非 定义1马尔可夫条件.设G=(V,E)是一有向 忠实分布的测度为0，所以在研究贝斯网络的结构 非循环图.P是定义在随机变量集V上的联合概率 学习和推理时，总假定BN上的分布满足忠实性 分布.如果对于每一个变量X∈Y,它的所有父节点 2主要结论及证明 组成的集合PAx给定时，{X}独立于它的所有非子 孙节点NDx,那么称G=(V,E)满足马尔可夫条件 设离散型贝叶斯网络B=(V,E,P)上的变量集 Markov condition). 按拓扑序标注为V={X1,X2,…,Xn},即变量（或称 定义2贝叶斯网络.设G=(V,E)是一有向非 节点、顶点)X在G中的父节点集PA:C{X1,X2, 循环图，P是定义在随机变量集V上的联合概率分 …,X:-1},记m:=IPA:表示X:父亲节点的数量.当 布，而且(G,P)满足马尔可夫条件，那么称B=（V, 所有变量的取值范围为X,∈{0,1}时，称B为布尔 E,P)为贝叶斯网络 域上的贝叶斯网络.本文只考虑布尔域上的贝叶斯 显然，给定贝叶斯网络B的结构G=（V,E)时， 网络，因此可利用m,维向量集Π：={0,1}={αI G上的分布构成一个集合9由于贝叶斯网络B上 a=（1,2,…,cm）,ck∈{0,1}，1≤k≤m:}表示X 的分布正是指其结构G上的分布，即B=(V,E,P) 的父节点集PA:的取值情况.例如当PA:={X,X2, 同样表示一个贝叶斯网络，它的结构图为G=(V, Xa,X4,Xs},a=(0,1,1,1,0)时，表示X有5个父 E),G上的分布P∈，因此本文中B=(V,E,P)与 节点，而且PA:=表示第一、五个父节点取0，其他 B=(V,E,9列不加区别，或通过上下文理解，由于贝 3个节点取1，此时X:取值的概率参数可表示为 叶斯网络B=(V,E,P)满足马尔可夫条件，所以 P.a=p（X:=1IPA:=a）和1-Pa= p(X:=0IPA:=a),其中p,表示在分布P中X,的 P(X,X2,…,Xn)=ΠP({X}IPA:) 父节点集PA:=a时，X取1的概率. 式中：V={X1,X2,…,Xn},PA表示X:的父节点构 令B。表示无连接边的贝叶斯网络，即B。=(G%, 成的集合.对于有向非循环图G=(V,E),如果存在 P)、Go=(V,E)且E=中，那么对于任意的变量X,Y∈ 节点集X1,X2,…,Xt},k≥2，使得(Xn,Xn+1)∈E V及ZCV,因为不存在连接X和Y的链，当然无激活 或(X+1,Xa)∈E,其中2≤i≤k,那么称连接这k个 路，所以1c(X;YIZ)成立，从而I(X;YIZ)成立.因此对 节点的边集为从X,到X,的一条链，表示为Lxx= 于B。而言，它的分布一定是忠实分布. [X1,X2,…,Xt]. 性质1贝叶斯网络B。上的任何分布均是忠 定义3激活路.设G=(V,E)是一有向非循环 实分布. 图，变量X,YeV和变量集ZCV,若接连X和Y的 显然B。上的分布和它的结构图完美匹配，当给 一条链Lxy=[X,X1,X,2,…,Xt,Y]的内部变量X B。增加有向边，同时将它的分布进行扩充，那么所 (1≤i≤k)满足以下条件：1)X:是头对头（→X←-） 得的结构图与分布关系如何？下面首先定义分布的 连接时，X属于Z或者它的某一个子孙节点属于Z; 扩充，即分布的延拓 2)X不是头对头连接时，X:不属于Z.则称链L是 定义4分布的延拓和限制.设布尔域上的贝 给定变量集Z时的激活路(Active path). 叶斯网络B1=(V,E1,)、B2=(V,E2,),且E1C