Methods of Mathematical Physi Chapter 7 Fourier transforms YLMa@ Phys. FDU to adopt the Fourier series. But in the infinite space range of x[-o0, +oo], there is the continue variables kl-oo, +oo], and the wave function is the plane wave P,(x)e(see below ) We need to learn the Fourier transforms 对(-∞,∞)上的非周期函数f(),不能展成 Fourier级数,但是我们 可以把它看成是周期为T的函数当T→∞时的极限。周期为T的函数的 Fourier级数为:f()=∑c;e 其中,c=0,而a O,= T △O=om-e,、2兀 因此,可以把c改写为 c%、f(-d=4o f()ed,代入f()的表达式, △OrT f(1) ∑ f(5)e"d5 ∑△oJ比(5)=m 当T→∞时,△O= 2丌 n>o(continued spectrum) ∑(…A△O→∫()da.因此, f() Lf(S)eo(-sldsdo Chre“d -ef 令f(o)=--d=h-/ok-d, 则()=,=(o)-da Fourier积分定理 若函数∫()在区间(-∞,∞)上满足:(1)f()在任一有限区间上满 足 Dirichlet条件:(2)(0在1(-)上绝对可积即W(收敛、有 限或者Iim∫(t)=0],则∫()可表示成 Fourier积分,且 Fourier积分值等Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 5 to adopt the Fourier series. But in the infinite space range of x[ , ], − + there is the continue variables k[ , ], − + and the wave function is the plane wave ( ) ikx k  x e  (see below). We need to learn the Fourier transforms. 对 t(− , ) 上的非周期函数 f (t) ，不能展成 Fourier 级数，但是我们 可以把它看成是周期为 T 的函数当 T → 时的极限。周期为 T 的函数的 Fourier 级数为： ( ) , n i t n n f t c e   − =− =  其中， 1 2 1 2 1 ( ) d n T i t n T c f t e t T  − =  ，而 T n n n    2  0 = ， T n n     2  = +1 − = . 因此，可以把 n c 改写为 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) d ( ) d 2 n n T T i t i n T T c f t e t f e T       − −   = =   ，代入 f (t) 的表达式，得 ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) d ( ) d 2 2 n n n T T i i t i t T T n n f t f e e f e                − − − − − =− =−    = =          . 当 T → 时， 0 2  = → T   ， 2 n n T    = → (continued spectrum)， ( ) ( )d . n   →   因此， 1 ( ) ( ) ( ) d d 2 1 1 ( ) d d . 2 2 i t i i t f t f e f e e                − − − −   − − − =   =         令    −  − f = f e = f t e t i i t ( ) d 2 1 ( ) d 2 1 ( ) ~        , 则   − − =     ( ) d ~ 2 1 ( ) i t f t f e . 1. Fourier 积分定理： 若函数 f (t) 在区间 t(− , ) 上满足:（1） f (t) 在任一有限区间上满 足 Dirichlet 条件；（2） f (t) 在 t(− , ) 上绝对可积[即   − f (t)dt 收敛、有 限或者 lim ( ) 0 t f t → = ]，则 f (t) 可表示成 Fourier 积分，且 Fourier 积分值等