第三章复变积分 第1页 第三章复变积分 §3.1复变积分 复变积分是复数平面上的线积分.设C是复平面上的曲线,函数f(z)在C上有定义.把曲线 C任意分割为n段,分点为 20=A,z1,2,n=B k是zk-1→k段上的任意一点,作和数 f()(-z-1)f()k k=1 若当n→∞,使得max△zk→0时,此和数的极限存在,且与的选取 无关,则称此极限值为函数f(z)沿曲线C的积分,记为 (a) =limf(k)z 图3.1 一个复变积分实际上是两个实变线积分的有序组合 ()dz (u+)(+idy) =(udx-vdy)+(vdx+udy). 因此,如果C是分段光滑曲线,f(2)是C上的连续函数,则复变积分一定存在 复变积分的基本性质: 1.如果积分fi(z)dz,f2(2)dz,…fn()dz都存在,则 2.若C=C1+C2+…+Cn,则 3f()df()d,其表示C的逆向; 4.af(z)dz=af(z)dz,其中a为常数; 5.()() 6.f(),其中M为f(2)在C上的上界,1为C的长度 显然,复变积分的数值依赖于￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 1 ✟ ✠✡☛ ☞ ✌ ✍ ✎ §3.1 ✏ ✑ ✒ ✓ ✔✕✖✗✘✔✙✚✛✜✢✣✖✗✤✥ C ✘✔✚✛✜✢ ✦✣✧★✙ f(z) ✩ C ✜✪✫✬✤✭ ✦✣ C ✮✯✗✰✱ n ✲ ✧✗✳✱ z0 = A, z1, z2, · · · , zn = B, ζk ✘ zk−1→zk ✲ ✜✢✮✯✴✳✧✵✶✙ Xn k=1 f(ζk) (zk − zk−1) = Xn k=1 f(ζk)∆zk, ✷✸ n→∞ ✧✹✺ max |∆zk| → 0 ✻ ✧✼✶✙✢✽✾✿✩ ✧❀❁ ζk ✢❂❃ ❄❅✧❆❇✼✽✾❈✱★✙ f(z) ❉ ✦✣ C ✢✖✗✧❊✱ Z C f(z) dz = lim max |∆zk|→0 Xn k=1 f(ζk)∆zk. ❋ 3.1 ✴●✔✕✖✗❍■✜✘❏● ❍✕✣✖✗✢✪❑▲▼ Z C f(z) dz = Z C (u + iv) (dx + i dy) = Z C (u dx − v dy) + i Z C (v dx + u dy). ◆✼✧❖P C ✘✗✲◗❘ ✦✣✧ f(z) ✘ C ✜✢❙❚★✙✧❆✔✕✖✗✴ ✫✿✩ ✤ ✔✕✖✗✢❯❱❲❳❨ 1. ❖P✖✗ Z C f1(z)dz, Z C f2(z)dz, · · · , Z C fn(z)dz ❩ ✿ ✩ ✧❆ Z C h f1(z) + f2(z) + · · · + fn(z) i dz = Z C f1(z) dz + Z C f2(z) dz + · · · + Z C fn(z) dz; 2. ✷ C = C1 + C2 + · · · + Cn ✧❆ Z C1 f(z) dz + Z C2 f(z) dz + · · · + Z Cn f(z) dz = Z C f(z) dz; 3. Z C− f(z) dz = − Z C f(z) dz ✧❬ ❭ C − ❪❫ C ✢❴ ❵❛ 4. Z C af(z) dz = a Z C f(z) dz ✧❬ ❭ a ✱❜✙❛ 5.    Z C f(z) dz    ≤ Z C |f(z)| | dz| ❛ 6.    Z C f(z) dz    ≤ Ml ✧❬ ❭ M ✱  f(z)   ✩ C ✜✢✜❝✧ l ✱ C ✢❞❡✤ ❢❣✧✔✕✖✗✢✙❈❤✐❥