七、某一个市镇只有一家旅馆,这个旅馆与通常旅馆没有不同,只是房间数不是有限 而是无穷多间,房间号码为1,2,3,4,……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个 旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1,2,3,4,…),称为可列集。 有一天,所有房间都住满了。后来来了一位客人,坚持要住房间。旅馆老板于 是引用“旅馆公理”说:“满了就是满了,非常对不起!”。正好这时候,聪明的旅馆 老板的女儿来了,她看见客人和她爸爸都很着急,就说:“这好办,请每位顾客都搬 下,从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间,2号房间的客人 搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来,请这位迟到的客人住下了。 第二天,希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆,他们声称有可数 无穷多位代表一定要住,这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围,她说: “您让1号房间客人搬到2号,2号房间客人搬到4号……,k号房间客人搬到2l 号,这样,1号,3号,5号,……房间就都空出来了,代表团的代表都能住下了 第三天,这个代表团每位代表又出新花招,他们想每个人占可数无穷多间房来 安排他们的亲戚朋友,这回不仅把老板难住了,连老板的女儿也被难住了。 (1)现在您担任希尔伯特旅馆的客房经理,您准备采取什么方法解决当前的住宿问 (2)后来老板的女儿进了大学数学系。有一天,康托尔教授来上课,他问老板的女儿: “要是区间[0,1上每一点都占一个房间,是不是还能安排?”也请您回答康托 尔教授的这一问题,并论证。 (16分,第1小题6分,第2小题10分,其中论证为8分) 第6页第 6 页 七、某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限 而是无穷多间，房间号码为 1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个 旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1，2，3，4，…)，称为可列集。 有一天，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老板于 是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”。正好这时候，聪明的旅馆 老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬 一下，从这间房搬到下一间”。于是 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号房间的客人 搬到 3 号房间……依此类推。最后 1 号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。 第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数 无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围，她说： “您让 1 号房间客人搬到 2 号，2 号房间客人搬到 4 号……，k 号房间客人搬到 2k 号，这样，1 号，3 号，5 号，……房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。” 第三天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间房来 安排他们的亲戚朋友，这回不仅把老板难住了，连老板的女儿也被难住了。 (1) 现在您担任希尔伯特旅馆的客房经理，您准备采取什么方法解决当前的住宿问 题？ (2) 后来老板的女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，他问老板的女儿： “要是区间[0，1]上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”也请您回答康托 尔教授的这一问题，并论证。 （16 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分，其中论证为 8 分）