第9章矩阵特征值问题的数值方法 1设A∈R"且有线性初等因子,其特征值为A元2…n证明:存在A的左特征向量 yy2…y和右特征向量xx2…xn满足A=∑xy 2设A∈R且有线性初等因子,其特征值为An孔2…n,相应的左特征向量为yy2…y 右特征向量为x1x2…xn,并有yx,=0(≠),yx,≠0.证明:矩阵 量分别为y“多M,,A的特征值为00…02,…,左、右特征向 Xu y 3设A∈R",x∈R.若L=(x,Ax…,A"x)∈R是非奇异矩阵,证明:存在向量 C=(c:C2cn)∈R",使 100 L AL 并说明A的特征多项式为f(4)="-cm"-…-C-cn 4设A∈R",其特征值和相应的特征向量分别为A,2…n和x1x2…xn又设v;∈R 且vx1=1.证明:矩阵(Ⅰ-xv)A有特征值0,2A3…元n和相应的特征向量 xx -vIxx 5设A∈R",又设是A的一个近似特征值,x是关于的近似特征向量且|x=1记 r=Ax-x.证明:存在矩阵E,满足 且(A+E)x=x第 9 章 矩阵特征值问题的数值方法 1.设 A∈ n n R × 且有线性初等因子，其特征值为 1 2 , ,, λ λ λ " n .证明：存在 A 的左特征向量 1 2 , ,, n yy y " 和右特征向量 1 2 , ,, x x x " n ，满足 A= 1 n T i i i i λ x y = ∑ 。 2.设 A∈ n n R × 且有线性初等因子，其特征值为 1 2 , ,, λ λ λ " n ，相应的左特征向量为 1 2 , ,, n yy y " ，右特征向量为 1 2 , ,, x x x " n ，并有 0 T j i y x = ( ) i j ≠ ， 0 T i i y x ≠ . 证明：矩阵 1 1 1 1 1 1 T T T T k k k k I IA x x y y y y x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " 的特征值为 1 0,0, ,0, , , " " λ k n + λ ，左、右特征向 量分别为 1 2 , ,, n yy y " 和 1 2 , ,, x x x " n 。 3.设 A∈ n n R × ， x∈ n R . 若 1 (, , , ) n L x Ax A x− = " n ∈ R 是非奇异矩阵，证明：存在向量 1 2 (, , , )T n c= cc c " n ∈ R ，使 1 2 1 3 1, 00 0 0 10 0 0 10 0 1 0 1 n n n n n nn c c c L AL c c − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " " %% # # 并说明 A 的特征多项式为 1 ( ) 2 1 n n nn n n f λ λλ λ c cc − = − −− − " 。 4.设 A∈ n n R × ，其特征值和相应的特征向量分别为 1 2 , ,, λ λ λ " n 和 1 2 , ,, x x x " n . 又设v1∈ n R ，且 1 1 1 T v x = . 证明：矩阵 1 1 ( ) T I A − x v 有特征值 2 3 0 , , ,, λ λ λ " n 和相应的特征向量 1 11 ,( ) T x x vxx i i − ( 2,3, , ) i n = " 。 5.设 A∈ n n R × ，又设 µ 是 A 的一个近似特征值，x 是关于 µ 的近似特征向量且 2 x = 1 . 记 r Ax x = − µ . 证明：存在矩阵 E，满足 F 2 E = r 且( ) A Ex x + = µ