f(x,y)ltxd≤‖g(x,y)dro 3)|f(x,y)在D内可积且 f(x,y)drays[SIr(r,y)drdy 4)积分第一中值定理:若∫(x,y)在D内连续,则(5,m)∈D,使得 f(x, y)dxdy=f(s, n)m(D) 5)设D1,D2是可求面积的闭区域,且D1∪D2=D,D°∩D2°=.则f在D可积 的充要条件是∫在D1,D2可积,且 f(x, y)dxdy=f(x, y)dxdy+f(x, y)dxdy 以上定理的证明可仿照定积分的证明给出,请读者自行补出 §6.3化重积分为累次积分 3.1化二重积分为累次积分 在利用定积分计算旋转体的体积时,我们所用的方法是对垂直该直线的截面积进行积 分的.从二重积分的几何意义,我们不难得到以下的计算方法 定理1:设∫(x,y)在矩形D=[a,b]×[c,d]可积,并且对任意的x∈[a,b],积分l(x) ∫?(xy)存在则 f(, y)dxdy=I()dx= dx f(x,y) Dd 证明:对[a,b]及[c,d]分别作分划 b yo <yI 由此我们得到小矩形Ao,=[x-1,xx[y=,y(=12,…,n,j=12,…,m)·记 f(x,y)在A上的上下确界分别为M及m,则对v5∈[x-1,x],我们有 f(5;,y)≤M,45 òò òò £ D D f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy . 3） f (x, y) 在 D 内可积且 òò òò £ D D f (x, y)dxdy f (x, y) dxdy . 4）积分第一中值定理: 若 f (x, y) 在 D 内连续, 则$(x,h) Î D , 使得 f (x, y)dxdy f ( , )m(D) D = x h òò . 5）设 1 2 D ,D 是可求面积的闭区域, 且 D1 U D2 = D, D1 °I D2 ° = Æ . 则 f 在 D 可积 的充要条件是 f 在 1 2 D ,D 可积, 且 òò òò òò = + 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy . 以上定理的证明可仿照定积分的证明给出, 请读者自行补出. §6.3 化重积分为累次积分 3.1 化二重积分为累次积分 在利用定积分计算旋转体的体积时, 我们所用的方法是对垂直该直线的截面积进行积 分的. 从二重积分的几何意义, 我们不难得到以下的计算方法. 定理 1: 设 f (x, y) 在矩形 D = [a,b]´ [c, d ]可积, 并且对任意的x Î[a, b] , 积分I( x) ò = d c f (x, y)dy 存在. 则 òò ò ò ò = = d c b a b a D f (x, y)dxdy I(x)dx dx f (x, y)dy . 证明: 对[a, b]及[c, d] 分别作分划 . , 0 1 0 1 c y y y d a x x x b m n = < < < = = < < < = L L 由此我们得到小矩形 [ , ] [ , ], ( 1,2, , , 1,2, , ) Ds ij = xi-1 xi ´ y j -1 y j i = L n j = L m . 记 f (x, y) 在Ds ij 上的上下确界分别为 Mij 及mij , 则对 [ , ] i i 1 i x x " Î - x , 我们有 ij j y y ij j i m y f y dy M y j j D £ £ D ò -1 (x , )