(b):只需证pM)<1. A对称正定，有U=T。设入为L的特征值，x为对应的特征向量。则有 (D+wL)-[(1-w)D-wUJr=Xr [(1-w)D-wLT]t =A(D+wL)z 考察x左乘上式，这里x为x的共轭转置。 由于D是正定矩阵的对角元构成的矩阵，可设xDx=>0,设xLx=a+iB,则xLTx= (x*Lx)=a-i3。再由A对称正定，有x*Ar=x*(亿+D+LT)x=6+2a>0,所以有 [1-w)i-w(a-i)]=A(6+w(a+i) 两边取模长平方有 P(1)6-wa+ (ǒ+a)2+w23 分子减分母 [(1-w)6-wa2+w2B2-(6+ua)2-w2B2=-w6(6+2a)(2-w)<0 所以<1。证毕。 ◆(b):只需证ρ(Mω)<1. A对称正定，有U = L T。设λ为Mω的特征值，x为对应的特征向量。则有 (D + ωL) −1 [(1 − ω)D − ωU]x = λx [(1 − ω)D − ωLT ]x = λ(D + ωL)x 考察x ∗左乘上式，这里x ∗为x的共轭转置。 由于D是正定矩阵的对角元构成的矩阵，可设x ∗Dx = δ>0，设x ∗Lx = α + iβ，则x ∗L T x = (x ∗Lx) ∗ = α − iβ。再由A对称正定，有x ∗Ax = x ∗ (L + D + L T )x = δ + 2α>0,所以有 [(1 − ω)δ − ω(α − iβ)] = λ(δ + ω(α + iβ)) 两边取模长平方有 |λ| 2 = [(1 − ω)δ − ωα] 2 + ω 2β 2 (δ + ωα) 2 + ω2β 2 分子减分母 [(1 − ω)δ − ωα] 2 + ω 2β 2 − (δ + ωα) 2 − ω 2β 2 = −ωδ(δ + 2α)(2 − ω)<0 所以|λ|<1。证毕。 ■ 2