第二节换元法积分法 教学目的:熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法;掌握较简单的有理函数的积 分 教学重点:第一类换元法,第二类换元法 教学难点:第一类换元法 教学内容 、第一类换元法(凑微分法) 定理设l和J是两个区间,x∈J,函数=(x)在点x处可导,且x)∈l,又 J/()du=F(u)+c ueD J(以刈)](x)x=F[刈+C(x∈ 证:设F(2)为f(2)的原函数,即F()=如)或」Jfa)d=F(2)+C 如果=(x),且(x)可微,则 ax(ox=F(a)d(x=o()=oxolo(x 即2{((x)为[(x)](x)的原函数(x∈J),故 1以刈](=F[)]+C(x∈D) 例1求下列不定积分: (1) 2cos 2xdx d (2)13+2x (3)J(2xe+x 1-x+tan x)dx (4)Ja2+x dx dx (5) (6)x(1+21nx)√x 解:(1) J2 cos 2xdx= cos 2x(2x)'dx= cos 2xd2 (2)13+2 232÷(3+2n=1 213+2x d3+2x)=n3+2x|+C tan x)dx x dx -Ja-x540-x)-丁-dax=2--x3-1x+e ctan一 1+(-)2 (5)1x2 In x-al-In x+a]+C=In M-c Idx dx+[eva dx 6 (1+2lnx) d(1+2lnx)+ 21 3VFd3x=In|1+21nx1+=ev+C 1+21nx第二节 换元法积分法 教学目的：熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法；掌握较简单的有理函数的积 分。 教学重点：第一类换元法，第二类换元法 教学难点：第一类换元法 教学内容： 一、第一类换元法（凑微分法） 定理 设 和 是两个区间， ，函数 在点 处可导，且 ，又 ，                          则                                             证： 设 为 的原函数，即 或 如果 ，且 可微，则 . 即 为 的原函数（ ），故 . 例1  求下列不定积分： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 解：（1） （2） （3） （4） （5） （ 6 ）