第九章相关公式证明过程 同理有∑e吃--∑x好 (3) 结合式(1)~式(3)有 2-82AW∑y∑x T2-'323 √-∑y-函∑x--层 (二)复相关系数与拟合优度 简单相关关系只是度量了两个变量一对一的相关关系，而以下复相关则是度量一对多的 相关关系。所谓复相关系数，即指一个变量Y与多个变量X2,“,Xx之间的相关程度的度 量指标。我们即将证明，在多元线性回归模型中，拟合优度实际就等于样本复相关系数的平 方值。 证明：根据复相关系数的定义，在计算复相关系数时可以将X2,,Xx看作一个整体， 也就是计算X2,…,Xx的线性组合与Y之间的简单相关系数。 Y=B+B2X2+…+BxXx+u X2,…,Xx的线性组合记为Y=B,+B2X2+…+BxXx Cov(r,r') Py.x=pyy= OyOy. Co,r）=Ey-E*-E川 =Ey'+u-E'-E川 =E亚'-E+E'-E =E亚*-E =0 因此PyX2X= 工，而样本复相关系数户xk:= 6 Oy Gy Y=B+B2X2+…+BxXx的样本估计值为Y=b,+b2X2+…+bxXg 其中，成=Σ化-时.示=∑- 显然 ==R,即多元线性回归膜型的拟合优度R2等于样本复相关系数 的平方值pX,Xg· 4第九章相关公式证明过程 4 同理有∑ = ( − )∑ 2 2 2 23 2 2 1 i i e r x （3） 结合式（1）～式（3）有 ( ) ( ) ( ) 2 23 2 3 2 3 23 2 2 2 23 2 2 3 2 2 2 2 3 23 2 3 1 1 1 1 1 2 r r r r r r y r x r r r y x r r y y y y i i y y i i y e e − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ = = ∑ ∑ ∑ ∑ ⋅ ＝ （二）复相关系数与拟合优度 简单相关关系只是度量了两个变量一对一的相关关系，而以下复相关则是度量一对多的 相关关系。所谓复相关系数，即指一个变量Y 与多个变量 X X K , , 2 " 之间的相关程度的度 量指标。我们即将证明，在多元线性回归模型中，拟合优度实际就等于样本复相关系数的平 方值。 证明：根据复相关系数的定义，在计算复相关系数时可以将 X X K , , 2 " 看作一个整体， 也就是计算 X X K , , 2 " 的线性组合与Y 之间的简单相关系数。 Y B B X B X u = 1 + 2 2 +"+ K K + X X K , , 2 " 的线性组合记为Y = B1 + B2X2 +"+ BK X K * ( ) * * 2 * , , Y Y Y X X Y Y Cov Y Y K σ σ ρ = ρ = ⋅ ⋅ " ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] [ ] ( ) () ( )( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 2 2 * * * * 2 * * * * * * * * * * , Y E Y E Y E Y E Y E Y E Y u E Y u E Y Y E Y Cov Y Y E Y E Y Y E Y = σ = − = − + − = + − − = − − 因此 Y Y Y X X K σ σ ρ * 2 ⋅ ", = ，而样本复相关系数 Y Y Y X X K σ σ ρ ˆ ˆ ˆ * 2 ⋅ ", = Y = B1 + B2X2 +"+ BK X K * 的样本估计值为Y = b1 + b2 X 2 +"+ bK X K ˆ 其中， ∑( ) − − = 2 2 1 1 ˆ Y Y n σ Y i ， ∑( − ) − × = 2 2 ˆ 1 1 ˆ Y Y n σ Y i 显然 2 2 ˆ ˆ * R TSS ESS Y Y = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ σ ，即多元线性回归模型的拟合优度 2 R 等于样本复相关系数 的平方值 2 , 2 ˆY X " X K ρ ⋅