2018/4/27 Aircraft Static Dynamic Stability 图上声文大些 Coordinate Systems 国上清大学 Static stable.highly damped Staticinstable V:aireraft speed L:rolling moment Body axis M:pitch moment Time Time N:yawing moment Stability axi Wind/Velocityaxis Tim .Time Stable,lightly dampec Static stable,dynamic unstable Other coordinate systems are possible Trajectory axis Time Xw Neutral stable ong A Summary of Commonly Used Coordinate System 国上活大坐 Equations of Flight dynamics- 飞机刚体动力学方程 圆上洋文廷大蜂 1)地南坐标系0，y (2)机体坐标系Ox: Three displacements along the axis 地面坐标系，前称地轴系。原点O周定于地 机体坐标系，简称体轴系。原点0 面上某点：0，轴指向地子面某任意透定力向： 在飞机的质心上：O入轴沿机体纵轴战折向前 力：0，轴在飞机对称面内，垂直于O轴，指 (偎+s%-g- 出。 偿+g--g (3)气液坐标系0xyz: (4)航迹坐标系0子： 迹坐标系，又此弹推因理华标系，题点0在 老：为 n(偎+sy-y）-发e 飞机的质心上：O入鞋沿飞机飞行速度方向。 considering lxy=lyz=0 垂直于O轴，指 面。指向右 贵+-4r-a+）= 《5)稳定鞋坐标系0人 +化-0p+a-内=M 发心标系，用于飞机稳定性分析。原点0在 轴沿飞轴向向 :限0流机的 +6-网+(-)- dr Equations of motion- 飞机的运动学方程 国上清大学 Small Disturbance theory and Linearization of EOM 园上海发大坐 现采用体铂系为动坐标系。则飞机的方位可由体轴系腺点相对地轴系的3 个坐标无、、乙以及两个轴系之间的3个角坐标：、、●来表示。 在研究飞机稳定性和操纵性问恩时，一般把飞机的运动分为基准运动（又称初 始运动或未扰动运动)和扰动运动两个部分，在扰动运动中，如果作用于飞机的 根据各角速度在体轴系各轴的分量，有 外加干扰比较小，则引起运动参数的变化量也比较小。这种与基准运动参数差别 较小的扰动运动，称为“小扰动”运动。 “小扰动”程设认为飞机受到外界扰动（包括操纵面微小操纵）后的飞机运动 求解结果形成绕质心转动的运动学方程： 参数可以是飞机未受扰动前的运动参数即基准运动参数再附上一个小扰动运动 参数增量组成，二阶以上的增量均可忽略 >This leads to a set of linearized equations of motion →More details should have been taught in“Flight Dynamics'” ersty-Dr.Wenbin Song rslty-Dr.V(enbin Song 22018/4/27 2 © Shanghai Jiao Tong University – Dr. Wenbin Song School of Aeronautics and Astronautics Aircraft Static & Dynamic Stability 7  0  Time 0  Time 0  Time 0  Time 0  Time Static stable, highly damped Static instable Stable, lightly damped Static stable, dynamic unstable Neutral stable © Shanghai Jiao Tong University – Dr. Wenbin Song School of Aeronautics and Astronautics Coordinate Systems 8 XB ZB YB  V XW Zw Yw   V Body axis Wind/Velocity axis L M N N V: aircraft speed L: rolling moment M: pitch moment N: yawing moment Other coordinate systems are possible Xs Zs Stability axis Ys Xt Zt Trajectory axis Yt © Shanghai Jiao Tong University – Dr. Wenbin Song School of Aeronautics and Astronautics A Summary of Commonly Used Coordinate System 9 （1）地面坐标系Oxg yg zg ： 地面坐标系，简称地轴系。原点O固定于地 面上某点；Oxg 轴指向地平面某任意选定方向； Ozg 轴铅垂向下；Oyg 轴垂直于Oxg zg 平面，构成 右手直角坐标系。重力通常在地面坐标系内给 出。 （2）机体坐标系Oxb yb zb ： 机体坐标系，简称体轴系。原点O 在飞机的质心上；Oxb 轴沿机体纵轴线指向前 方；Ozg 轴在飞机对称面内，垂直于Oxb 轴，指 向下；Oyg 轴垂直于飞机对称面，指向右。发 动机推力一般在机体坐标系内给出。 （3）气流坐标系Oxaya za ： 气流坐标系，又称速度坐标系。原点O在飞机 的质心上；Oxa 轴指向飞机的空速方向，向前为 正；Oza 轴在飞机对称面内，垂直于Oxa 轴，指 向下；Oya 轴垂直于Oxa za 平面，指向右。 （4）航迹坐标系Oxk yk zk ： 航迹坐标系，又称弹道固联坐标系。原点O在 飞机的质心上；Oxk 轴沿飞机飞行速度方向， 向前为正；Ozk 轴在包含Oxk 轴的铅垂平面内， 垂直于Oxk 轴，指向下；Oya 轴垂直于Oxk zk 平 面，指向右。 向前为正； （5）稳定轴坐标系Oxsyszs ： 稳定轴坐标系，用于飞机稳定性分析。原点O在飞机的质心上；Oxk 轴沿飞机轴向向，向前为正； Ozk 轴在包含Oxk 轴的铅垂平面内，垂直于Oxk 轴，指向下；Oya 轴垂直于Oxk zk 平面，指向右。 © Shanghai Jiao Tong University – Dr. Wenbin Song School of Aeronautics and Astronautics Equations of Flight dynamics – 飞机刚体动力学方程 10 𝑚 𝑑𝑉௫ 𝑑𝑡 + 𝜔௬𝑉௭ − 𝜔௭𝑉௬ = 𝐹௫ 𝑚 𝑑𝑉௬ 𝑑𝑡 + 𝜔௭𝑉௫ − 𝜔௫𝑉௭ = 𝐹௬ 𝑚 𝑑𝑉௫ 𝑑𝑡 + 𝜔௫𝑉௬ − 𝜔௬𝑉௫ = 𝐹௭ 𝐼௫ 𝑑𝑝𝑑𝑡 + 𝐼௭ − 𝐼௬ 𝑞𝑟 − 𝐼௭௫ 𝑝𝑞 + 𝑑𝑟𝑑𝑡 = 𝐿 𝐼௬ 𝑑𝑞𝑑𝑡 + 𝐼௫ − 𝐼௭ 𝑟𝑝 + 𝐼௭௫ 𝑝ଶ − 𝑟ଶ = 𝑀 𝐼௭ 𝑑𝑟𝑑𝑡 + 𝐼௬ − 𝐼௫ 𝑝𝑞 + 𝐼௭௫ 𝑞𝑟 − 𝑑𝑝𝑑𝑡 = 𝑁 Three displacements along the axis Three rotational degree of freedom considering Ixy=Iyz=0 © Shanghai Jiao Tong University – Dr. Wenbin Song School of Aeronautics and Astronautics Equations of motion – 飞机的运动学方程 11 现采用体轴系为动坐标系，则飞机的方位可由体轴系原点相对地轴系的 3 个坐标 xg、yg、zg以及两个轴系之间的 3 个角坐标 θ、ψ、φ 来表示。 根据各角速度在体轴系各轴的分量，有 ቐ 𝑝 = 𝜙̇ − 𝜓̇ sin 𝜃 𝑞 = 𝜃̇ cos𝜙 + 𝜓̇ sin 𝜙cos 𝜃 𝑟 = −𝜃̇ sin 𝜙 + 𝜓̇ cos𝜙 cos 𝜃 (8 求解结果形成绕质心转动的运动学方程： ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝜙̇ = 𝜔𝑥 + tan 𝜃൫𝜔𝑦 sin 𝜙 + 𝜔𝑧 cos 𝜙൯ 𝜃̇ = 𝜔𝑦 cos 𝜙 − 𝜔𝑧 sin𝜙 𝜓̇ = 1 cos 𝜃 ൫𝜔𝑦 sin𝜙 + 𝜔𝑧 cos𝜙൯ (8 由于动坐标系为体轴系，故 u、v、w 分别为飞机质心速度沿体轴系各轴的 分量。如果认为大气相对于地球是静止的，利用已导出的变换矩阵，可以得到 对地轴系各轴的速度，即 ቐ 𝑥̇𝑔 = 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑣(𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜓 − 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜓) + 𝑤(𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜓) 𝑦̇𝑔 = 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝑣(𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑐𝑜𝑠𝜓) + 𝑤(𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜓) 𝑧𝑔̇ = −𝑢𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑣𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑤𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 (8 © Shanghai Jiao Tong University – Dr. Wenbin Song School of Aeronautics and Astronautics Small Disturbance theory and Linearization of EOM 12 在研究飞机稳定性和操纵性问题时，一般把飞机的运动分为基准运动（又称初 始运动或未扰动运动）和扰动运动两个部分。在扰动运动中，如果作用于飞机的 外加干扰比较小，则引起运动参数的变化量也比较小。这种与基准运动参数差别 较小的扰动运动，称为“小扰动”运动。 “小扰动”假设认为飞机受到外界扰动（包括操纵面微小操纵）后的飞机运动 参数可以是飞机未受扰动前的运动参数即基准运动参数再附加上一个小扰动运动 参数增量组成，二阶以上的增量均可忽略。 This leads to a set of linearized equations of motion More details should have been taught in “Flight Dynamics