f dx 证明令中=∑fn,f=∑fn则中,(x)为可测集E上的非负可测函 数列,且满足φN(x)≤φN1(x),中(x)→f(x)(N→+∞),从而由L 定理知: f=m中x=!mf,d=∑ fndx,证毕 定理5.2.5:设f(x)在E上有积分值,若E=∪En,且互不相交, 则f在每一个E上有积分值,且[fdx= 证明若f(x)为可测集E上的非负可测函数,令 f(x)当x∈En f (x)= g 由定理5.2.4知:∫f=∑f,x=∑Jfdx,若f(x)为可测集E 上的一般可测函数,则f=f'-f,「fx=∑ ∑.fdx至少有一个有限,』fk=」r'dx- f d ∑∫fdx,证毕 定理5.2.6f(x,t)是定义在[a,b]×[c,d]上的可测函数,在[a,b]上关 于x可积,在[c,d上关于t处处可微,且存在[a,b]上的可积函数F(x)满足 f,'(x,t)|≤F(x)(vt∈[c,d])∫E ∑ ∞ n=1 f n dx＝∑ ∞ n=1 ∫E f n dx 证明 令 φ N ＝∑= N n 1 f n ,f＝∑ ∞ n=1 f n 则 φn (x)为可测集 E 上的非负可测函 数列，且满足 φ N (x)≤φ N+1 (x)，φ N (x)→f(x) (N→＋∞)，从而由 Levi 定理知：∫E fdx＝ N→∞ lim ∫E φ N dx＝n→∞ lim ∫E f n dx＝∑ ∞ n=1 ∫E f n dx， 证毕。 定理５.２.５：设 f(x)在 E 上有积分值，若 E＝U ∞ n=1 E n ，且互不相交， 则 f 在每一个 E n 上有积分值，且 ∫E fdx＝∑ ∞ n=1 ∫En fdx 证明 若 f(x)为可测集 E 上的非负可测函数，令    ∉ ∈ = n n n x E f x x E f x 当 当 0 ( ) ( ) ， 由定理５.２.４知：∫E fdx＝ ∫E ∑ ∞ n=1 f n dx＝∑ ∞ n=1 ∫En fdx，若 f(x)为可测集 E 上的一般可测函数，则 f＝f + －f − ，∫E f + dx＝∑ ∞ n=1 ∫En f + dx 与∫E f − dx＝ ∑ ∞ n=1 ∫En f − dx 至少有一个有限， ∫E fdx＝∫E f + dx－∫E f − dx＝ ∑ ∞ n=1 ∫En f + dx －∑ ∞ n=1 ∫En f − dx＝∑ ∞ n=1 ∫En fdx，证毕。 定理５.２.６ f(x,t)是定义在[a,b]×[c,d]上的可测函数，在[a,b] 上关 于 x 可积，在[c,d]上关于 t 处处可微，且存在[a,b]上的可积函数 F(x)满足 |f t '(x,t)|≤F(x) (∀ t∈[c,d])