4f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a, E=f(x)≤a和E1={xf(x)≥a}都是闭集 证明:我们只要证明充分性: 假如(x)在某点x处不连续, 则彐E>0,Vn,3x2∈R使|xn-x0k×1,但f(x)-f(x0)≥E 从而xn∈{x:f(x)≤f(x)-6}或xn∈{x:f(x)≥f(x)+E} 不妨令有无限多x在{x:f(x)≤f(x0)-e中, 令这无限多项为x,则xn→>xa(→>∞) 由{x:f(x)≤f(x)-}为闭集, 可知x0∈{x:f(x)≤f(x0)-e}, 从而(x)≤f(x)-,得到矛盾,所以(x)连续。4 f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a， E={x|f(x)≤a}和E1={x|f(x)≥a}都是闭集 证明：我们只要证明充分性： 从而f (x0 )  f (x0 ) −，得到矛盾，所以f (x)连续。 可知 ： ， 由 ： 为闭集， { ( ) ( ) } { ( ) ( ) } 0 0 0     −  − x x f x f x x f x f x 令这无限多项为 ，则 ） 不妨令有无限多 在 ： 中， → →   − x x x i x x f x f x ni ni n ( { ( ) ( ) } 0 0  从而xn {x：f (x)  f (x0 ) −}或xn {x：f (x)  f (x0 ) +}， 0 1 1 0 0 ( ) 0, , , | | , | ( ) ( ) | , n n n n n f x x      −  −    x R x x f x f x 假如 在某点 处不连续， 则 使 但