第二十七讲积分变换 介绍求解偏微分方程定解问题的另一种做法,即将积分变换应用于在求解偏微分方 程定解问题. 常用的积分变换有 Laplace变换和 Fourier变换两种 §27.1应用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题 Laplace变换可用于求解含时间的偏微分方程定解问题.变换后,自变量的个数比原来减少 一个.例如,原来是x和t两个自变量的偏微分方程定解问题,变换后就只需求解常微分方程(自 变量为x)的定解问题.一般说来,后者总比较容易求解.这样求得的是原始的定解问题的解的象 函数,还必须反演,才能得到原始问题的解 例271求无界杆的热传导问题 -6x2=f(x,,-∞<r<∞,t>0 ∞<x<∞ 解 解在这种无界区间的定解问題中,往往并不明确列出边界条件.实际上,无界区间,只是 一个物理上的抽象,它只是表明在所考察的限度(时间,精度,…)內,两端的影响可以忽略.因 此,如果要完整地列出定解问题的话,则还应当有边界条件 作 Laplace变换.令 u(a, t)=U(a, p) 利用初始条件,有 oU(E, P) 把变换后的象函数只看成是x的函数,p是参数,所以 a2u d2U d r2 微商运算就是一元函数的微商.再进一步令 f(r, t): F(a, p) 这样,在经过 Laplace变换后,定解问题就变成 pU(E, P)-K d2U(x,p)∠F(x,p) 0的条件下可以得到 U(r, p) F(a, p)exWu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆✝✞✟ ✠✡☛☞✌✍✎✏✑✒☞✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢✣✎✤✥✦✧★✩☛☞✌✍✎✏ ✑✒☞✓✔✪ ✫✧✕✣✎✤✥✬ Laplace ✤✥✭ Fourier ✤✥✮✘✪ §27.1 ✯✰ Laplace ✱✲✳✴✵✶✷✸✹✺✴✻✼ Laplace ✤✥✽✧★☛☞✾✿❀✕✌✍✎✏✑✒☞✓✔✪✤✥❁✛ ❂✤❃✕❄❅ ❆❇❈❉❊ ✗❄✪❋●✛❇❈❍ x ✭ t ✮❄ ❂✤❃✕✌✍✎✏✑✒☞✓✔✛✤✥❁■❏❑☛☞✫✍✎✏✑ ( ❂ ✤❃▲ x) ✕✒☞✓✔✪✗▼◆❈✛❁❖P ❆◗❘❙☛☞✪❚❯☛❱✕❍❇❲✕✒☞✓✔✕☞✕❳ ❨❅✛❩❬❭❪❫✛❴❵❱❛❇❲✓✔✕☞✪ ❜ 27.1 ☛❝❞❡✕❢❣❤✓✔ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), − ∞ < x < ∞, t > 0; u   t=0 = 0, − ∞ < x < ∞ ✕☞✪ ✐ ❥❦❧♠♥ ♦♣qrs t✉ ✈✛✇✇①② ③④⑤ ⑥⑦♥⑧⑨✪⑩❶❷✛♠♥ ♦♣✛❸❹ ❺❻❼❽❷q❾❿✛➀ ❸❹➁ ③❥➂➃➄q➅➆ (➇ ♣✛➈➆✛ · · ·) ➉ ✛➊➋q➌➍➎ ➏➐➑✪➒ ➓✛➔→➣ ↔↕➙⑤ ⑥rs t✉q➛✛➜➝➞ ➟➠⑦♥⑧⑨ u   x→±∞ → 0. ➡ Laplace ✤✥✪➢ u(x, t) ; U(x, p) = Z ∞ 0 u(x, t)e−ptdt, ➤✧➥❲➦➧✛✬ ∂u ∂t ; pU(x, p). ➨✤✥❁✕❳❨❅❏➩➫❍ x ✕❨❅✛ p ❍➭❅✛➯➲ ∂ 2u ∂x2 ; d 2U(x, p) dx 2 , ✍➳➵➸■❍✗➺❨❅✕✍➳✪➻➼✗➽➢ f(x, t) ; F(x, p), ❚❯✛✩➾➚ Laplace ✤✥❁✛✒☞✓✔■✤➫ pU(x, p) − κ d 2U(x, p) dx 2 = F(x, p). ✩ U   x→±∞ → 0 ✕➦➧➪✽➲❱❛ U(x, p) = 1 2 1 √κp Z ∞ −∞ F(x 0 , p) exp  − r p κ |x − x 0 |  dx 0