1.7 Gamma随机数与Beta随机数的生成 在a≥1时,设[a]是正数a的整部,可以证明r(a,A)分布的密度与r([a]4)分布的密 度的比例是有界函数.由此可以设计一个由指数分布随机数,通过 Von neuman取舍原则得 到r(a,)分布的随机数的方法 在a,B≥1时,设m,2分别为独立的r(a,,I(B)随机数,则可以证明5=n1+n2 为B(a,B)随机数 关于0<a<1时r(a,)分布的取样方法,可以参见文献[LK] 2.多维随机数 2.1连续型多维随机数 对于已知的分布密度,我们可以利用条件密度,把生成多维随机数归结为生成一系列 一维随机数.设随机向量(X1…,Xa)的密度为∫(x12x2…,x).那么,我们有表达式 ∫(x1,x2,…,x4)=fx1(x1)(x2|x1)…f(x|x1,…,x), 其中∫x为X1的边缘密度,f(x4|x1,…,x-1)为在已知X1=x1,…,Xk=x1条件下 X的条件密度于是可以先取一个∫x随机数x1;然后,在x1固定的情形下,生成 ∫(·|x1)随机数x2;再在x1,x2固定的情形下,生成一个f(|x1,x2)随机数x3;…最后 在x1…,x1固定的情形下,生成一个∫(|x12…,x)随机数x,这样得到的 (x,…x)就是随机向量(x1,…,Xd)的一个随机数.当然在生成各个条件密度的随机数 时,仍然可以使用 Von neuman取舍原则.注意在用取舍原则于一维分布取样时,可以忽 略一个因子 然而,在d较大时,更为常用的是Gbs取样法( Gibbs Sampler),它是一种基本的动态 Monte carlo方法,即 Markov链 Monte Carlo方法,在本书第8章中我们将介绍这种方法 在很多实际情形中,多维密度常常并不知道,更无法知道各个条件密度.这时最自然而 粗糙的想法是用条件频率来近似条件密度 2.2离散型多维随机数 只要用概率函数p(x1,…,x)=P(X1=x1,…,Xd=x)代替密度函数,2.1段中的办法 就自然适用 2.3多维正态随机数38 1. 7 Gamma 随机数与 Beta 随机数的生成 在a ³1时, 设[a]是正数a 的整部, 可以证明G(a,l) 分布的密度与G([a],l) 分布的密 度的比例是有界函数. 由此可以设计一个由指数分布随机数, 通过 Von Neuman 取舍原则得 到G(a,l) 分布的随机数的方法. 在a,b ³ 1时，设 1 2 h ,h 分别为独立的G(a,1),G(b ,1) 随机数, 则可以证明 1 2 1 h h h V + = 为 B(a, b ) 随机数. 关于0 <a <1时G (a,l) 分布的取样方法，可以参见文献 [LK]. 2. 多维随机数 2. 1 连续型多维随机数 对于已知的分布密度, 我们可以利用条件密度, 把生成多维随机数归结为生成一系列 一维随机数. 设随机向量( , , ) X1 L Xd 的密度为 ( , , , ) 1 2 d f x x L x . 那么，我们有表达式 ( , , , ) ( ) ( | ) ( | , , ) 1 2 d = X1 1 2 1 d 1 d -1 f x x L x f x f x x L f x x L x , 其中 X1 f 为 X1的边缘密度, ( | , , ) k 1 k-1 f x x L x 为在已知 1 1 1 1 , , = k - = k- X x L X x 条件下, Xk 的条件密度. 于是可以先取一个 X1 f 随机数 1 x ; 然后，在 1 x 固定的情形下, 生成一个 ( | )1 f × x 随机数 2 x ; 再在 1 2 x , x 固定的情形下, 生成一个 ( | , ) 1 2 f × x x 随机数 3 x ; … 最后, 在 1 1 , , d - x L x 固定的情形下 , 生成一个 ( | , , ) 1 -1 × d f x L x 随机数 d x . 这样得到的 ( , , ) 1 d x L x 就是随机向量 ( , , ) X1 L Xd 的一个随机数. 当然在生成各个条件密度的随机数 时, 仍然可以使用 Von Neuman 取舍原则. 注意在用取舍原则于一维分布取样时，可以忽 略一个因子． 然而，在 d 较大时, 更为常用的是 Gibbs 取样法 (Gibbs Sampler), 它是一种基本的动态 Monte Carlo 方法, 即 Markov 链 Monte Carlo 方法, 在本书第 8 章中我们将介绍这种方法. 在很多实际情形中, 多维密度常常并不知道, 更无法知道各个条件密度. 这时最自然而 粗糙的想法是用条件频率来近似条件密度. 2. 2 离散型多维随机数 只要用概率函数 ( , , ) ( , , ) 1 d 1 1 d d p x x =P X = x X = x D L L 代替密度函数, 2. 1段中的办法 就自然适用. 2. 3 多维正态随机数