第2期 吴琪，等：基于四元数的欠驱动AV的镇定控制设计 .189. 由于e4没有包含在f(n,,t)中，且e4可由式(11) E=g(5,t/e) (16) 惟一定义，因此可以将系统(14)中的第7个方程去 取用自治的平均系统近似的代替系统(16)，方 除。如果简化后的方程局部渐进稳定，则原系统方 程(16)的平均系统为 程(13)也渐近稳定。 =go() def 进一步定义u兰山4，p当p4,g兰94，r兰r,将 式中：g()是其平均值。将控制输人(13)~(16) 其作为输入变量，简化后有 带入到(15)，系统(15)的平均系统可写为 ud -Kx v+283ud v-2k'83x w 22ua y w+2k82x 1/2pa -1/2k1E1 B1 1/2qa 9, -1/2k2e2 (15) = 1/2ra 令 -1/2k3E3 今 E3 ua一 m(kkx8,+y+d）- m22 m22 mn m22 m da _w -uaqa- —10 m mu(kk2x62-kz-de)- m33 I m33 33 方程组(5)~(8)定义了(15)的控制输入。鉴于其 (17) 是周期时变输入，因此产生的系统结果也是周期时 方程(17)可以写成如下的级联系统： 变的，可写为 2k'63x y 10 2kBxx · dn mu(ky+dv)-m + m22 mn mukkxes m22 m(-kz-d）- ds m33 m33 mukkxe2 m33 0 0 √ 0 -2k83x 0 0 0 1 2kBxx 0 ud一 n 0 m22 m22 z mukkxEs (18) m22 0 以水 0 d d 10 m33 m m3sJ mukkx6: m33 -k'x [4]命题，存在k1k2、k3k4足够大且全为正数，合理 -1/2k4E1 地选择参数k、d,能够使得系(18)渐近稳定。 2 -1/2k2e2 (19) 4 镇定仿真 83J 1/2ke3」 根据线性理论知识容易得到式(19)是全局稳定 AUV的基本参数为)：m1=215,m2=265, 的。当系统(19)全局稳定时，其状态向量全部趋近于 m33=265,m44=40,m55=80,m6=80,d,=70, 零。且由(18)可以看出，关联项是高阶小的形式，因 d22=100,d3=100,d44=30,d5=50,d6=50,且 此只要设计证明系统(18)的名义系统稳定即可。根 AUV是中性浮力，不计入重力和浮力（假设重力和 据Hurwitz稳定性定理，当名义系统矩阵的所有特征 浮力平衡，且重心浮心重合)。 值具有负实部，则系统可以实现稳定。因此根据文献 采用式(9)~(12)的控制律进行控制输入，从 上一节可知T4=0,满足渐近收敛。相关控制参数由于 ε４ 没有包含在 ｆ（η，ｖ，ｔ） 中，且 ε４ 可由式（１１） 惟一定义，因此可以将系统（１４）中的第 ７ 个方程去 除。 如果简化后的方程局部渐进稳定，则原系统方 程（１３）也渐近稳定。 进一步定义 ｕ ＝ ｄｅｆ ｕｄ ， ｐ ＝ ｄｅｆ ｐｄ ， ｑ ＝ ｄｅｆ ｑｄ ， ｒ ＝ ｄｅｆ ｒｄ ，将 其作为输入变量，简化后有 ｘ · ｙ · ｚ · ε１ ε２ ε３ ｖ · ｗ · é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ＝ ｕｄ ｖ ＋ ２ε３ ｕｄ ｗ － ２ε２ ｕｄ １ ／ ２ｐｄ １ ／ ２ｑｄ １ ／ ２ｒｄ － ｍ１１ ｍ２２ ｕｄ ｒｄ － ｄ２２ ｍ２２ ｖ － ｍ１１ ｍ３３ ｕｄ ｑｄ － ｄ３３ ｍ３３ ｗ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú （１５） 方程组（５） ～ （８）定义了（１５）的控制输入。 鉴于其 是周期时变输入，因此产生的系统结果也是周期时 变的，可写为 ξ · ＝ ｇ（ξ，ｔ ／ ε） （１６） 取用自治的平均系统近似的代替系统（１６），方 程（１６）的平均系统为 ξ · ＝ ｇ０（ξ） 式中： ｇ０（ξ） 是其平均值。 将控制输入（１３） ～ （１６） 带入到（１５），系统（１５）的平均系统可写为 ｘ · ｙ · ｚ · ε１ ε２ ε３ ｖ · ｗ · é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ＝ － ｋ ｘ ｘ ｖ － ２ｋ ｘ ε３ ｘ ｗ ＋ ２ｋ ｘ ε２ ｘ － １ ／ ２ｋ ε１ε１ － １ ／ ２ｋ ε２ε２ － １ ／ ２ｋ ε３ε３ － ｍ１１ ｍ２２ （ｋ ｘ ｋ ε３ ｘε３ ＋ ｋｙ ＋ ｄｖ） － ｄ２２ ｍ２２ ｖ ｍ１１ ｍ３３ （ｋ ｘ ｋ ε２ ｘε２ － ｋｚ － ｄｗ） － ｄ３３ ｍ３３ ｗ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú （１７） 方程（１７）可以写成如下的级联系统： ｙ · ｚ · ｖ · ｗ · é ë ê ê ê ê êê ù û ú ú ú ú úú ＝ ｖ ｗ － ｍ１１ ｍ２２ （ｋｙ ＋ ｄｖ） － ｄ２２ ｍ２２ ｖ ｍ１１ ｍ３３ （ － ｋｚ － ｄｗ） － ｄ３３ ｍ３３ ｗ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ＋ － ２ｋ ｘ ε３ ｘ ２ｋ ｘ ε２ ｘ － ｍ１１ ｍ２２ ｋ ｘ ｋ ε３ ｘε３ ｍ１１ ｍ３３ ｋ ｘ ｋ ε２ ｘε２ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ＝ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ １ － ｍ１１ ｍ２２ ｋ ０ － ｍ１１ ｍ２２ ｄ － ｄ２２ ｍ２２ ０ ０ － ｍ１１ ｍ３３ ｋ ０ － ｍ１１ ｍ３３ ｄ － ｄ３３ ｍ３３ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ｙ ｚ ｖ ｗ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ＋ － ２ｋ ｘ ε３ ｘ ２ｋ ｘ ε２ ｘ － ｍ１１ ｍ２２ ｋ ｘ ｋ ε３ ｘε３ ｍ１１ ｍ３３ ｋ ｘ ｋ ε２ ｘε２ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú （１８） ｘ · ε · １ ε · ２ ε · ３ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ＝ － ｋ ｘ ｘ － １ ／ ２ｋ ε１ε１ － １ ／ ２ｋ ε２ε２ － １ ／ ２ｋ ε３ε３ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú （１９） 根据线性理论知识容易得到式（１９）是全局稳定 的。 当系统（１９）全局稳定时，其状态向量全部趋近于 零。 且由（１８）可以看出，关联项是高阶小的形式，因 此只要设计证明系统（１８）的名义系统稳定即可。 根 据 Ｈｕｒｗｉｔｚ 稳定性定理，当名义系统矩阵的所有特征 值具有负实部，则系统可以实现稳定。 因此根据文献 ［４］命题，存在 ｋ１ 、ｋ２ 、ｋ３ 、ｋ４ 足够大且全为正数，合理 地选择参数 ｋ、ｄ ，能够使得系（１８）渐近稳定。 ４ 镇定仿真 ＡＵＶ 的基本参数为［７］ ： ｍ１１ ＝ ２１５， ｍ２２ ＝ ２６５， ｍ３３ ＝ ２６５， ｍ４４ ＝ ４０， ｍ５５ ＝８０， ｍ６６ ＝ ８０， ｄ１１ ＝ ７０， ｄ２２ ＝１００， ｄ３３ ＝ １００， ｄ４４ ＝３０， ｄ５５ ＝ ５０， ｄ６６ ＝ ５０，且 ＡＵＶ 是中性浮力，不计入重力和浮力（假设重力和 浮力平衡，且重心浮心重合）。 采用式（９） ～ （１２） 的控制律进行控制输入，从 上一节可知 τ ４ ＝ ０，满足渐近收敛。 相关控制参数 第 ２ 期 吴琪，等： 基于四元数的欠驱动 ＡＵＶ 的镇定控制设计 ·１８９·