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.592 北京科技大学学报 2006年第6期 (f"g)(x,y)=(f©g)(x,y)⊙g(x,y), 和y(n)分别表示垂直方向细节分量、水平方向 (i,j)∈Dg,(x,y)∈Dr (4) 细节分量和对角线方向细节分量 上面式(1)~(4)分别代表腐蚀、膨胀、开运算 以2×2的最小形态小波算子分解： 和闭运算的定义式，这是数学形态学中最基本的 9'(x)(n)=x(2n)Ax(2n+)A 四组运算公式，在使用时可以利用它们之间的相 x(2n)Ax(2n) 互组合，同时还可以选择适当的结构元素达到更 (9) 为有效的处理效果 w(x)(n)=((x)(n), 1.2小波分解 (x)(n),(x)(n) 小波分解]是一种多尺度分析算法，具有 其中9'(x)(n)为分解的主分量.4(x)(n)代 数学显微镜之称，设V;为图像的第j层信号空 表y,(n),为垂直方向细节分量；，(x)(n)代表 间，W;为图像的第j层细节空间，：V,→V+1 y(n),为水平方向细节分量；(x)(n)代表 为图像的第j层信号空间到第j十1层信号空间 ya(n),为对角线方向细节分量.分别由公下式 的分解算子，心：V→W+1为信号空间V;到细 表示： 节空间W+1的分解算子，乎：V+1×W+1→V; u(x)(n)=(x(2n)-x(2nt)+ 为第j层图像的重构算子，对于信号x,若满足 (9(x),w(x)=x,x∈Vi x(2n+)-x(2n+) (5) (平(x,y)=x,x∈V+1,y∈W+1 (6) m(）=2(x(2n)x(2n+)+(0) o(g(x,y)=y,x∈Vt1,y∈W+1 x(2n+)-x(2n+) 则表示信号分解后可以实现完全重构，因此 (x)(n)=2(x(2n)-x(2nt)- 可对满足条件的信号xo∈Vo进行小波塔式分解： x0→x1,y1, x∈V1,y1∈W1 x(2n+)十x(2n+) x1→{x2,y2, x2∈V2,y2∈Wz 以2×2的最小形态小波算子进行重构 (7) 9'(x)(2n)=9'(x)(2n+)=9'(x)(2n+)= xn-1→xn,ynf,xn∈Vn,yn∈Wa 9'(x)(2n+)=x(n) (11) 即得： w'(y)(2n)=(y,(n)+ym(n)V(y,()+ x0→x1,y1{→x2y2,y1→→ ya(n))V(yh(n)+ya(n))Vo (12) {&n'yn'ya-1,…,yi}… (8) w'(y)(2n+)=(y(n)-h(n)V(x.(n)- 其中式(7)和(8)是可逆的，代表信号的重构 ya(n))V(-nh(n)-xa(n))Vo (13) 由于小波分解具有多尺度的特点，它能对信 w'(y)(2n+)=(ym(n)+x(n)V(-(n)- 号的局部细节进行精细刻画，因此小波分解具有 ya(n))V(y(n)-ya(n))Vo (14) 很强的检测突变信号的能力 w'(y)2nt)=(-(n)-h(n)V(ya(n)- 1.3形态小波分解与重构 (n)V(ya(n)+h(n)V0(15) 形态小波6]变换是利用数学形态学的算子 其中9'(x)(2n),p'x(2n+),9'x(2n+)和 及其性质结合小波变换来进行描述的，令A为 p'x(2n)代表主分量的四个元素的重构：而 一个以(0,0)点为原点的2×2的扁平结构元 素1，A={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)1,形态小 w'(y)(2n),w'(y)(2n+),w,(y)(2n)和 波的分解与重构结构框图如图1.y,(n),y(n) ω'(y)(2n)代表细节分量上的四个元素的 重构 x(2m) x2n') 分解 x,(n) .n) 利用形态小波进行分解的时候，可以根据具 体的情况，选择符合要求的结构元素，可以是kX x(2n） 2n) 重构 y(n) y.(n) !的非扁平结构元素，同时也可以选择最小形态 小波算子、中值形态小波算子以及最大形态小波 图1一次形态小波的变换结构框图 算子等，还可以利用其多分辨率特性，对图像进 Fig.1 Structure of morphological wavelet transform 行多级分解，提取需要的分量进行最后分析，（ f·g）（ xy）＝（ f♁g）（ xy）⦵g（ xy） （ ij）∈ Dg（ xy）∈ Df （4） 上面式（1）～（4）分别代表腐蚀、膨胀、开运算 和闭运算的定义式．这是数学形态学中最基本的 四组运算公式在使用时可以利用它们之间的相 互组合同时还可以选择适当的结构元素达到更 为有效的处理效果． 1∙2 小波分解 小波分解［12］ 是一种多尺度分析算法具有 数学显微镜之称．设 V j 为图像的第 j 层信号空 间Wj 为图像的第 j 层细节空间ψ ↑ j ∶V j→ V j＋1 为图像的第 j 层信号空间到第 j＋1层信号空间 的分解算子w ↑ j ∶V j→ Wj＋1为信号空间 V j 到细 节空间 Wj＋1的分解算子Ψ ↓ j ∶V j＋1× Wj＋1→ V j 为第 j 层图像的重构算子．对于信号 x若满足 Ψ ↓ j （ψ ↑ j （ x）w ↑ j （ x））＝ xx∈ V j （5） ψ ↑ j （Ψ ↓ j （ xy））＝ xx∈ V j＋1y∈ Wj＋1 w ↑ j （Ψ ↓ j （ xy））＝yx∈ V j＋1y∈ Wj＋1 （6） 则表示信号分解后可以实现完全重构．因此 可对满足条件的信号 x0∈V0 进行小波塔式分解： x0→｛x1y1｝ x∈ V1y1∈ W1 x1→｛x2y2｝ x2∈ V2y2∈ W2 x n—1→｛x nyn｝ x n∈ V nyn∈ Wn （7） 即得： x0→｛x1y1｝→｛x2y2y1｝→…→ ｛x nynyn—1…y1｝→… （8） 其中式（7）和（8）是可逆的代表信号的重构． 由于小波分解具有多尺度的特点它能对信 号的局部细节进行精细刻画因此小波分解具有 很强的检测突变信号的能力． 图1 一次形态小波的变换结构框图 Fig．1 Structure of morphological wavelet transform 1∙3 形态小波分解与重构 形态小波［68］变换是利用数学形态学的算子 及其性质结合小波变换来进行描述的．令 A 为 一个以（00）点为原点的2×2的扁平结构元 素［9］A ＝｛（00）（01）（10）（11）｝形态小 波的分解与重构结构框图如图1．yv （ n）yh（ n） 和 yd（ n）分别表示垂直方向细节分量、水平方向 细节分量和对角线方向细节分量． 以2×2的最小形态小波算子分解： φ ↑ （ x）（ n）＝ x（2n）∧ x（2n＋）∧ x（2n ＋）∧ x（2n ＋ ＋） ω ↑ （ x）（ n）＝（ωv（ x）（ n） ωh（ x）（ n）ωd（ x）（ n）） （9） 其中 φ ↑ （ x）（ n）为分解的主分量．ωv （ x）（ n）代 表 yv（ n）为垂直方向细节分量；ωh （ x）（ n）代表 yh（ n）为水平方向细节分量；ωd （ x ） （ n）代表 yd（ n）为对角线方向细节分量．分别由公下式 表示： ωv（ x）（ n）＝ 1 2 （ x（2n）— x（2n ＋）＋ x（2n＋）— x（2n ＋ ＋）） ωh（ x）（ n）＝ 1 2 （ x（2n）— x（2n＋）＋ x（2n ＋）— x（2n ＋ ＋）） ωd（ x）（ n）＝ 1 2 （ x（2n）— x（2n ＋）— x（2n＋）＋ x（2n ＋ ＋）） （10） 以2×2的最小形态小波算子进行重构 φ ↓ （ x）（2n）＝φ ↓ （ x）（2n＋）＝φ ↓ （ x）（2n ＋）＝ φ ↓ （ x）（2n ＋ ＋）＝ x（ n） （11） ω ↓ （ y）（2n）＝（ yv（ n）＋yh（ n））∨（ yv（ n）＋ yd（ n））∨（ yh（ n）＋yd（ n））∨0 （12） ω ↓ （ y）（2n＋）＝（ yv（ n）—yh（ n））∨（ yv（ n）— yd（ n））∨（—yh（ n）—yd（ n））∨0 （13） ω ↓ （ y）（2n ＋）＝（ yh（ n）＋yv（ n））∨（—yv（ n）— yd（ n））∨（ yy（ n）—yd（ n））∨0 （14） ω ↓ （ y）（2n ＋ ＋）＝（—yv（ n）—yh（ n））∨（ yd（ n）— yv（ n））∨（ yd（ n）＋yh（ n））∨0 （15） 其中 φ ↓ （ x ）（2n）φ ↓ x （2n＋）φ ↓ x （2n ＋）和 φ ↓ x （2n ＋ ＋）代表主分量的四个元素的重构；而 ω ↓ （ y） （2n）ω ↓ （ y） （2n＋）ω↓ （ y） （2n ＋）和 ω ↓ （ y）（2n ＋ ＋）代表细节分量 上 的 四 个 元 素 的 重构． 利用形态小波进行分解的时候可以根据具 体的情况选择符合要求的结构元素可以是 k× l 的非扁平结构元素．同时也可以选择最小形态 小波算子、中值形态小波算子以及最大形态小波 算子等．还可以利用其多分辨率特性对图像进 行多级分解提取需要的分量进行最后分析． ·592· 北 京 科 技 大 学 学 报 2006年第6期