第九讲二阶线性常微分方程的幂级数解法( 再比较zn的系数,得 (n+p)(n+p-1)cn+>la(n+p-1)+bi]en-1=0, l=0 n+p)(n+p-1)+ao(n+)+bon+∑[a(n+p-0)+bcn-=0 l=1 这“便得出的系数之其的递推关系 反复利用递推关糸,就可以得到亲数cπ的普遍表达式.当然,在Cπ的表达式中一定 含有ρ,用ρ=1代入,即可得到解U1(z),再用p=P2代入,又可得到解U2(z),当 p-P≠整数时,就求出了方程的(两个线性无关的)特解 当p1=P2时,显然这只能得解同一个解.所以,这时程二解一定含对数项 当p1-P2=正整数m时,对于程二解的系数cm),有 (m+p)(m+P2-1)+ao(m+m2)+b]cm)+∑[a(m+p2-0+b]cm=0 注意m+P=p1,所以有 4+-+2,=0 可在 当∑[(1-0+b]-m2≠0时,9无解 当∑[m(-)+b121=0时,c任意 l=1 ★对于程一种情形,方程的程二解也一定含对数项 ★对于程二种情形,方程的程二解一定不含对数项,当然还能继续求解.只是这时以后的各项 系数2)(m>m)会同时依赖于q0(2)和c2).程二解v2(x)便有两项,一项正比于2) 项正比于C2),再仔细分析一下,就会发现,c2n和C)之其的关系与)和)之其的 关系完全一年,可在,与c)成正比的项正好就是程一解(最多可能差一个常数倍数),可而 不妨取c2)Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✄ ) ✒ 7 ✓ ❯ ✦✧ z n ✼Õt●❒ (n + ρ)(n + ρ − 1)cn + Xn l=0 al(n + ρ − l) + bl cn−l = 0, ✂ (n + ρ)(n + ρ − 1) + a0(n + ρ) + b0 cn + Xn l=1 al(n + ρ − l) + bl cn−l = 0. ➴✒✲❒á☞Õt♣q✼ÓÔ♣Õ✾ ➯➲➳➵➉➊ ➋➅●➌➍ ❭➃➄ ➅➆ cn ❷➒➓➔→❹✾å➁●④ cn ❷➔→❹ ➜➝❬ è ➢ ρ ✾➵ ρ = ρ1 ❺❻●➎➍➃➄❸ w1(z) ✾➏➵ ρ = ρ2 ❺❻●➐➍➃➄❸ w2(z) ✾å ρ1 − ρ2 6= ➑ ➆ ➙●➌➐ ➑ ➒❼❽❷ (î➦➓➔➎ ➋❷) →❸✾ Ü ρ1 = ρ2 ❄●✠ Ý➴✒✶❂❒❇❃❫❴❇✾✘➬●➴❄❀☎❇❫❵❽✻t➘✾ Ü ρ1 − ρ2 = ▼✉t m ❄●✻❰❀☎❇✼Õt c (2) m ●➚ (m + ρ2)(m + ρ2 − 1) + a0(m + ρ2) + b0 c (2) m + Xm l=1 al(m + ρ2 − l) + bl c (2) m−l = 0. ⑩❶ m + ρ2 = ρ1 ●✘➬➚ 0 · c (2) m + Xm l=1 h al(ρ1 − l) + bl i c (2) m−l = 0. ❁▲ Ü Xm l=1 h al(ρ1 − l) + bl i c (2) m−l 6= 0 ❄● c (2) m ♦❇✄ Ü Xm l=1 h al(ρ1 − l) + bl i c (2) m−l = 0 ❄● c (2) m ✰❶✾ F ✻❰❀❫➣❻❦●✿❀✼❀☎❇❅❫❵❽✻t➘✾ F ✻❰❀☎➣❻❦●✿❀✼❀☎❇❫❵❈❽✻t➘●ÜÝ❍❂❡❢❘❇✾✶❆➴❄➬✕✼↔➘ Õt c (2) n (n > m) ↕ ❃❄❙➙❰ c0(2) ❣ c (2) m ✾❀☎❇ w2(z) ✲➚♠➘●❫➘▼ ✦❰ c (2) 0 ●❫ ➘▼ ✦❰ c (2) m ✾❯➛➜ñ✐❫õ●Ö↕➝➞● c (2) m+n ❣ c (2) m ♣q✼♣Õ♦ c (1) n ❣ c (1) 0 ♣q✼ ♣Õ✴④❫✒●❁▲●♦ c (2) m ✵▼ ✦✼➘▼➟Ö❆❀❫❇ (✇✇❁❂➠❫❴st➡t ) ●❁ ✫ ❈➅❝ c (2) m = 0 ✾