a)等时变分,要求61=0。虚位移指同一时刻t的假想的无限小位移,所以也有δr=0。 b)虚位移是要求约束所允许的。而我们考虑的真实运动q()和邻近的可能运动() 都是满足约束条件的,所以等时变分6q()也是满足约束条件的 因此等时变分与虚位移采用同一符号δq是适当的。 5.2.哈密顿原理(哈密顿最小作用量原理) 1. Hamilton原理(1834) 在b和n时间间隔内,一个保守的力学体系,受到的约束是完整的,理想的,有确定的始终点,即q(t) 和q(4)有确定的值,(oq()=(4)=0),在约束所允许的各种可能运动q()中,由动力学规 律( Lagrange方程)所决定的真实运动可由泛函S=「L(q91知取极值条件 a="L(q,9,1)=0给出。S称为 Hamilton作用量。 说明:这里的极值条件实际上是取逗留值的条件。这个逗留值是不是极值,以及是极大值还是极小值, 都还需进一步探讨。(参考资料3的334页给出了一个实例。教材250页也给出了一个实例。)如果积 分区间充分小,在稳定约束条件下,哈密顿原理的泛函在真实路径上取极小值。(参考资料13。第」 2. Hamilton原理可以作为力学第一性原理。意即 Hamilton原理等价于已有的可作为力学第一性原理 的原理。例如: Hamilton原理分→ Lagrange方程。在一个自由度的情况下,这个证明在5.1.3.(4) 中实际已经给出(并参阅教材247-250页)。 3.由 Hamilton原理可以推导正则方程。(教材252-253页) 4.利用哈密顿原理解力学问题,除了通过拉格朗日方程或正则方程以外,还可以直接求得 近似解 【例】(参阅参考资料3中的341页。)质量为m=1的质点在XY平面上运动,外力的势 能为=xy。在1=0时,它在原点(0,0),在t=1时,它在(2,0)。求质点的运动。 本题可以精确求解。我们先求出精确解,以备与以后求得的近似解进行比较。利用拉格朗 日函数L=(￥2+y2)-x求得拉格朗日方程: x+y=0 C sint+C2 cost+C3 sinht+ C cosht j+x=0求得通解: =C sint+C cost-C sinht-C. cosht 并求得满足端点条件的特解:x= sint sinha y=sint sinh. sin1 sinh 1 S=5(+)-4sm,h10h2 2sin-1 2 sinh 1 cot1+ cothl=1.955128=S极小值6 a) 等时变分，要求δt＝0。虚位移指同一时刻 t 的假想的无限小位移，所以也有 t = 0。 b) 虚位移是要求约束所允许的。而我们考虑的真实运动 q t( ) 和邻近的可能运动 q t( ) 都是满足约束条件的，所以等时变分  q t( ) 也是满足约束条件的。 因此等时变分与虚位移采用同一符号  q 是适当的。 5．2．哈密顿原理（哈密顿最小作用量原理） 1． Hamilton 原理（1834） 在 t0 和 t1 时间间隔内，一个保守的力学体系，受到的约束是完整的，理想的，有确定的始终点，即 q t( 0 ) 和 q t( 1 ) 有确定的值，（   q t q t ( 0 1 ) = = ( ) 0 ），在约束所允许的各种可能运动 q t( ) 中，由动力学规 律（Lagrange 方程）所决定的真实运动可由泛函 ( )  = 1 0 , , t t S L q q t dt 取极值条件 ( )  = = 1 0 , , 0 t t S  L q q t dt 给出。S 称为 Hamilton 作用量。 说明：这里的极值条件实际上是取逗留值的条件。这个逗留值是不是极值，以及是极大值还是极小值， 都还需进一步探讨。（参考资料 3 的 334 页给出了一个实例。教材 250 页也给出了一个实例。）如果积 分区间充分小，在稳定约束条件下，哈密顿原理的泛函在真实路径上取极小值。（参考资料 13。第二 章 70 页） 2．Hamilton 原理可以作为力学第一性原理。意即 Hamilton 原理等价于已有的可作为力学第一性原理 的原理。例如：Hamilton 原理  Lagrange 方程。在一个自由度的情况下，这个证明在 5．1．3．（4） 中实际已经给出（并参阅教材 247－250 页）。 3．由 Hamilton 原理可以推导正则方程。（教材 252－253 页） 4．利用哈密顿原理解力学问题，除了通过拉格朗日方程或正则方程以外，还可以直接求得 近似解。 【例】（参阅参考资料 3 中的 341 页。） 质量为 m =1 的质点在 XY 平面上运动，外力的势 能为 V xy = 。在 t = 0 时，它在原点 (0,0) ，在 t =1 时，它在 (2,0) 。求质点的运动。 本题可以精确求解。我们先求出精确解，以备与以后求得的近似解进行比较。利用拉格朗 日函数 ( ) 1 2 2 2 L x y xy = + − 求得拉格朗日方程： 0 0 x y y x  + =   + = 求得通解： 1 2 3 4 1 2 3 4 sin cos sinh cosh sin cos sinh cosh x C t C t C t C t y C t C t C t C t  = + + +   = + − − 并求得满足端点条件的特解： sin sinh sin1 sinh1 t t x = + sin sinh sin1 sinh1 t t y = − ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 cos sin sinh cosh sin 2 sinh 2 2 sin 1 sinh 1 2sin 1 2sinh 1 t t t t t t S x y xy dt dt       − + = + − = + = +               = + = cot1 coth1 1.955128 min = S 极小值