再利用8u的任意性,就可以导出上面的积函数一定为 oF a al 这就是二元函数情形下,泛函 J F(a, y, u, ur, uu)dr dy 取极值的必要条件的微分形式( Euler- Lagrange程) 把这个结果应用到例31.2中,的横振动问就上,就得到使作用量 dt 21"(at 取极值的必要条件 a2u T a2 0 ax2 这正是第13讲导出的,的横振动 值 以上在一元函数和多元函数的泛函极值问题中,都限定了变量函数在端,或边界上取 定值,因而变量函数的变分在端,或边界上一定为0 这种泛函极值问题称为定或定边界的泛函极值问题 知类问题在数学上是最单的,然而泛又是函的上最常用 下面以一元函数为例,总结一下变分的几条简单运算法则 1.首先,由于变分是对函数y进行的,独立于自变量x,所以,变分运算和微分微例运算 可交换次重, dy d(Sy) 即y′=(y)y 2.变分运算也是一个线性运算 8F+BSG 其中a和β是常数 3力作计算,就可以得到函数下积的变分法则 6(FG)=(6F)G+F(6G) 4.变分运算和积分(徵分的质运算)也可以交换次重 8 Fdr= (sf)dr 这只要把点式两端的定积分写成级数和即可看出Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ ✟ ✠ ✡ 7 ☛ ÚÖ í δu ✱❆➇❘✢ ✧✶✩➠✪◆▼✱ ✶î✜✬❇✿✭ 0 ✢ ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy = 0, ✳✧★➞÷✜✬➶â ✞✢✛✜ J[u] = Z Z S F(x, y, u, ux, uy)dx dy ➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔✱s ï âã (Euler–Lagrange ❈r) ✲ ➱✳✫✃ö ❍í✑❐ 31.2 è ✢ ✱✣✤✥✦✧◆✢✧❛ ✑Û✝ í ✰ S = Z t1 t0 dt Z x1 x0 1 2 h ρ  ∂u ∂t 2 − T  ∂u ∂x2 i dx ➢ ✺❈ ✱✼➐➣↔ ∂ 2u ∂t2 − T ρ ∂ 2u ∂x2 = 0, ✳Ü★♠ 13 Ý ➠ ✪ ✱ ✢ ✱✣✤✥❈r✲ ❦ ❒Ò➻Þ ➂➚ß ♦ Þ ➂➚❢➁➂✇➽ ✗✘ à✢❽á⑤ ❾ àá➂➚Òâã❷äå❒✈ ⑤➽✢æ⑦ àá➂➚❢àç Òâã❷äå❒➻⑤× 0 ✲ èé➤➥❝❡êëì❧í➥îïðí➥ñò➫➤➥❝❡êë ✲ ó ❞ ✗✘Ò ➚ ô ❒õ✙ ö÷❢ ✢Ö⑦ø Ý õùú❒✙ Üû❢ ✲ ✞▼ ✩❇÷✜✬✭❐✢ü ✃❇ ✞ ✯ ï ✱ý➣✣✤➅Õ❉➉ ✲ 1. ➹ ✽✢ ✎ ❪ ✯ ï ★ ●✜✬ y þÿ✱ ✢￾ ➁ ❪ ✮ ✯✰ x ✢✻✩ ✢ ✯ ï ➅Õ ❵ s ï❇ s✁➅Õ ✶✂✄➘☎ ✢ δ dy dx = d(δy) dx ❩ δy 0 = (δy) 0 . 2. ✯ ï ➅Õ ❨ ★❇✫◗❘ ➅Õ ✢ δ(α F + β G) = α δF + β δG, ❘ è α ❵ β ★➍ ✬✲ 3. ✆✝ÔÕ✢ ✧✶✩❛ ✑✜✬✞î ✱✯ï ❉➉● δ(F G) = (δF) G + F (δG). 4. ✯ ï ➅Õ ❵îï (s ï ✱✟➅Õ ) ❨ ✶✩✂✄➘☎ ✢ δ R b a F dx = R b a (δF) dx. ✳ë➐➱✠ã❳✕✱✿îï➇✸❵ ✬❵❩✶✷ ✪✲