x0< <xo=b 是(an,b)的任一分割则{(x,x=1),j=1…k,=1…,n是[a6]上的限个互不相交 的开区间,并且这些小区间的长度之和 ∑(x-x(2)=∑(b-a)<6 由∫的绝对连续性得到 s 对(a1,b)(i=1,…,n.)的所有分割取上确界得到 ()-1(f (≤ 这表明V()是[a,b]上的绝对连续函数■ 定理5设∫是[a,b]上的 Lebesgue可积函数则f的不定积分 F(x) (dt+C 在[a,b]上几乎处处可导并且F(x)=f(x)ae. 证明由例1知道F(x)是[a,b上的绝对连续函数.因而由推论3知道F(x)在[a,b]上 几乎处处可导.往证F(x)=f(x)ae先证明若是[a,b上的 Lebesgue可积函数,则 q()dtax≤ 事实上,由于[q()和[q()都是单调增加的函数,$51定理5,我们有 (odr dx 因此 ∫o(x)k+J(x)k=∫145 i i k i i i a x x x b i = < < < = ( ) ( ) 1 ( ) 0 " 是 ( , ) ai bi 的任一分割. 则{( , ), 1, , , 1, , } 1 x x j k i n i i j i j − = " = " 是[a,b]上的限个互不相交 的开区间, 并且这些小区间的长度之和 ( ) ( ) . 1 1 1 ( ) 1 ( ) ∑ ∑ ∑ − = − < δ = = = − n i n i i i k j i j i j x x b a i 由 f 的绝对连续性得到 ( , , ) ( ) ( ) . 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 0 ∑ = ∑∑ − < ε = = − = n i n j i j i j n i i n i i f i i V x x "x f x f x 对( , ) ai bi (i = 1,",n.)的所有分割取上确界得到 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ∑ − = ∑ ≤ ε = = n i b a n i a a b a V f V f V f i i i i 这表明V ( f ) x a 是[a,b]上的绝对连续函数.■ 定理 5 设 f 是[a,b]上的 Lebesgue 可积函数. 则 f 的不定积分 ( ) () x a F x f t dt C = + ∫ 在[a,b]上几乎处处可导并且 F′(x) = f (x) a.e.. 证明 由例1知道 F(x)是[a,b]上的绝对连续函数. 因而由推论3知道 F(x)在[a,b]上 几乎处处可导. 往证 F′(x) = f (x) a.e..先证明若ϕ 是[a,b]上的 Lebesgue 可积函数, 则 () ( ) . bx b aa a ϕ ϕ t dt dx x dx  ′     ≤ ∫∫ ∫   (1) 事实上, 由于 ∫ + x a ϕ (t)dt 和 ∫ − x a ϕ (t)dt 都是单调增加的函数, §5.1 定理 5, 我们有 () ( ) . bx b aa a ϕ ϕ t dt dx x dx + +  ′     ≤ ∫∫ ∫   () ( ) . bx b aa a ϕ ϕ t dt dx x dx − −  ′     ≤ ∫∫ ∫   因此 () () () () () () . b x bx bx a a aa aa bb b aa a t dt dx t dt dx t dt dx x dx x dx x dx ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ + −+ + −      ′′ ′     ≤ +      ≤+= ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫