3.1.3矩阵秩的有关结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩，即 若A∽B,则r(4)=r(B) (2)矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A可逆时，有 r(AB)=r(B):r(BA)=r(B) (3)设A为n阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 n r(A)=n 4)=1 r(④=n-1 0 r(A)≤n-2 (④)设A为方阵，则A≠0台r(A)=n。 3.1.4矩阵秩的求法 (1)用定义求矩阵的秩。 (2)用初等变换法求矩阵的秩。 (3)用性质求矩阵的秩。 (4)用有关结论求矩阵的秩。 (5)用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求Ax=b的解，其中A≠0。 方法(1)克莱娒法则 )6=12,n小，其中D,为右端列6取代A的第1列所构成的行列式。 x= 方法(2)逆矩阵法 x=Arh,其中4=士或用4）行0：A)求A. 方法(3)G法 将增广矩阵(Ab)经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法(3)G-J法 将增广矩阵(A:b)经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6齐次线性方程组Ax=0 (1)齐次线性方程组有解的条件 x=0为Ax=0的平凡解。 当r(A)=n时，Ax=0只有零解。 r(A<n时，Ax=0有含n-r(A)个参数的无穷多组解。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn3.1.3 矩阵秩的有关结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩，即 若 A∽B,则 r(A) = r(B) （2）矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当 A 可逆时，有 r(AB) = r(B)； r(BA) = r(B) (3) 设 A 为 n 阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A (4)设 A 为方阵，则 A ¹ 0 Û r(A) = n 。 3.1.4 矩阵秩的求法 （1）用定义求矩阵的秩。 （2）用初等变换法求矩阵的秩。 （3）用性质求矩阵的秩。 （4）用有关结论求矩阵的秩。 （5）用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求 Ax = b 的解，其中 A ¹ 0 。 方法（1） 克莱娒法则 (i n) A D x i i = = 1,2,L ，其中 Di 为右端列b 取代 A 的第i 列所构成的行列式。 方法（2）逆矩阵法 x A b -1 -1 = ，其中 A A A * 1 = - 或用( ) ( ) ¾¾® -1 AMI 行 IMA 求 -1 A 。 方法（3） G 法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法（3）G－J 法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6 齐次线性方程组 = 0 ´ A x m n （1）齐次线性方程组有解的条件 x = 0为 Ax = 0的平凡解。 当 r(A) = n时， Ax = 0只有零解。 r(A) p n 时， Ax = 0有含 n - r(A)个参数的无穷多组解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn