第十二讲函数 第1页 第十二讲函数 §12.1函数的定义 定义函数的最常用定义是 (z)= e~tt-1dt, Rez >0. 这个积分称为第二类 Euler积分,其中的积分变量t应该理解为argt=0 ★积分在右半平面代表一个解析函数. 因为这是一个反常积分,它既是一个瑕积分(在t=0端),又是一个无穷积分,所以要把它拆 成两部分来分别讨论 e-tt-1dt=e-t-1dt+et-dt. J 先看第二部分.显然,当t≥1时,被积函数e-t-1是t的连续函数,并且作为z的函数,在 全平面解析.由定理4.2可知,要证明它代表一个解析函数,就只需证明积分一致收敛.因为 et= ∑ t n! 所以对于任意正整数N, t > e< N 故对于z平面上任一闭区域(此区域内的任意一点,均有Rez<o,(见图12.1) e-+-1 <N!.+ 0-N-1 y O 图12.1 这样,只要选择足够大的N(使得N>xo),积分to-n-1dt就收敛,故et-dt在z平 面的任一闭区域中一致收敛,因此在全平面解析. 要证明第一部分的积分在右半平面解析,关键也是证明它的一致收敛性.因为 le-t-1=e-t-1, x=Rez.Wu Chong-shi ￾✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 1 ✞ ✟✠✡☛ Γ ☞ ✌ §12.1 Γ ✍✎✏✑✒ ✓✔ Γ ✕✖✗✘✙✚✛✜✢ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1dt, Re z > 0. ✣✤✥✦✧★✩✪✫ Euler ✥✦✬✭ ✮✗ ✥✦✯✰ t ✱✲✳✴★ arg t = 0 ✵ F ✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄✵ ❅★✣✢❆✤❇✙ ✥✦✬❈❉✢❆✤❊✥✦ (❋ t = 0 ●) ✬❍ ✢❆✤■❏✥✦✬❑▲▼◆❈❖ P◗❘✦❙✦❚❯❱✵ Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = Z 1 0 e −t t z−1 dt + Z ∞ 1 e −t t z−1 dt. ❲❳✩✪❘✦✵ ❨❩✬❬ t ≥ 1 ❭ ✬❪✥✕✖ e −t t z−1 ✢ t ✗❫❴✕✖✬❵❛❜★ z ✗✕✖✬ ❋ ❝❞❡✴❢✵❣✛✳ 4.2 ❤✐✬▼❥ ❦❈❧♠❆ ✤ ✴❢✕✖✬♥♦♣❥ ❦✥✦❆qrs✵❅★ e t = X∞ n=0 t n n! , ❑▲t✉✈✇①②✖ N ✬ e t > t N N! , e −t < N! tN . ③t✉ z ❞❡④✈ ❆⑤⑥⑦ (⑧⑥⑦ ⑨✗✈✇❆⑩✬❶❷ Re z <x0 ✬ (❸❹ 12.1)  e −t t z−1   < N! · t x0−N−1 . ❺ 12.1 ✣❻✬♦▼❼❽❾❿➀✗ N ( ➁➂ N > x0) ✬✥✦ Z ∞ 1 t x0−N−1dt ♥ rs✬③ Z ∞ 1 e −t t z−1dt ❋ z ❞ ❡ ✗ ✈ ❆⑤⑥⑦ ✮ ❆qrs✬❅ ⑧❋❝❞❡✴❢✵ ▼❥ ❦✩ ❆ ❘✦✗ ✥✦❋➃➄❞❡✴❢✬➅➆➇✢ ❥ ❦❈ ✗❆qrs➈✵❅★  e −t t z−1   = e−t t x−1 , x = Re z