第4期 陈世明，等：有向相依网络的可控性研究 ·607· 0.25 DER-DER HI-HO HI-LO ◆-LI-LO 0.10 0. 0.05 B. 0 0.2 0.40.6 0.8 1.0 相依比例F (a)不同相依方式下DER-DER网络的可控性 (b)最高入度与最低出度节点相依LO) 0.5 DER-DSF HI-HO O43 HI-LO 0.4 ◆-L-LO 0.3 0.2 它01 0 0.2 0.40.60.8 1.0 相依比例F (b)不同相依方式下DER-DSF网络的可控性 0.8r (©)最低入度与最低出度节点相依LLO) DSF-DSF HI-HO 0.7 图5有向相依网络的相依方式 。HI-LO ◆-L-LO 0.5 Fig.5 Dependent way of the interdependent directed net- work 0.3 宣02 针对提出的3种有向网络相依方式，在DER- 0.1 DER、DER-DSF、DSF-DSF3类有向相依网络中对 0 0.2 0.40.60.8 1.0 网络可控性进行了仿真对比。如图6(a)所示，在 相依比例F (C)不同相依方式下DSP-DSF网络的可控性 DER-DER有向相依网络中对3种既定相依方式 而言，n均呈现随着相依比例F增大而减小的趋 图6不同相依方式下有向相依网络可控性 势，同时在图6(b)所示的DER-DSF有向相依网络 Fig.6 Controllability of the interdependent directed net- work under different dependent way 与图6(c)所示的DSF-DSF有向相依网络中，no的 4结束语 变化趋势与图6(a)相同，即在同一有向相依网络 中对任一既定相依方式来说，网络可控性会随着 相互依存的复杂网络广泛存在于实际复杂系 相依比例的增加而逐渐增强。在图6(a)所示的 统中，且往往存在有向网络之间的相依，本文首 DER-DER有向相依网络中，针对相同相依比例 先构建了基本的有向相依网络模型，并结合严格 F,对3种既定相依方式下的网络可控性进行对 可控性理论，给出了基于最少控制输入的可控性 比发现no(LI-LO)<no(H-LO)<o(H-HO),同时在 评判指标；考虑相依方式对有向相依网络可控性 图6(b)所示的DER-DSF有向相依网络与图6(c) 产生的影响，本文基于经典的有向随机网络(DER) 所示的DSF-DSF有向相依网络中，在同等相依比 和有向无标度网络(DSF),构建了DER-DER、 例F下有no(LI-LO)Ko(H-LO)Kno(H-HO),即在同 DER-DSF、DSF-DSF三类有向相依网络模型，并 一网络中相同相依比例下，基于最小入度与最小 在4组不同相依比例下，研究了随机相依方式下 出度节点相依的有向相依网络可控性最强，而基 的DER-DER网络的可控性能，研究发现，随着相 于最大入度与最大出度节点相依的有向相依网络 依比例的增加，网络可控性逐渐增强。但每组相 可控性最弱。 依比例下的网络可控性均会在一定范围内出现大 图6中，网络规模2N=1000,其中DER网络， 幅的波动。为了进一步证实相依方式影响着网络 (K)=2;DSF网络，m=yout=3,(K)=2。每组数据为 的可控性，通过在随机相依方式下对连续相依比 50次独立实验的平均值。 例下的3类有向相依网络可控性进行了仿真，我nD nD F nD nD nD F nD nD nD 针对提出的 3 种有向网络相依方式，在 DER￾DER、DER-DSF、DSF-DSF 3 类有向相依网络中对 网络可控性进行了仿真对比。如图 6(a) 所示，在 DER-DER 有向相依网络中对 3 种既定相依方式 而言， 均呈现随着相依比例 F 增大而减小的趋 势，同时在图 6(b) 所示的 DER-DSF 有向相依网络 与图 6(c) 所示的 DSF-DSF 有向相依网络中， 的 变化趋势与图 6(a) 相同，即在同一有向相依网络 中对任一既定相依方式来说，网络可控性会随着 相依比例的增加而逐渐增强。在图 6(a) 所示的 DER-DER 有向相依网络中，针对相同相依比例 ，对 3 种既定相依方式下的网络可控性进行对 比发现 (LI-LO)< (HI-LO)< (HI-HO)，同时在 图 6(b) 所示的 DER-DSF 有向相依网络与图 6(c) 所示的 DSF-DSF 有向相依网络中，在同等相依比 例 下有 (LI-LO)< (HI-LO)< (HI-HO)，即在同 一网络中相同相依比例下，基于最小入度与最小 出度节点相依的有向相依网络可控性最强，而基 于最大入度与最大出度节点相依的有向相依网络 可控性最弱。 ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ 图 6 中，网络规模 2N=1 000，其中 DER 网络， K =2；DSF 网络，γin=γout=3， K =2。每组数据为 50 次独立实验的平均值。 4 结束语 相互依存的复杂网络广泛存在于实际复杂系 统中，且往往存在有向网络之间的相依，本文首 先构建了基本的有向相依网络模型，并结合严格 可控性理论，给出了基于最少控制输入的可控性 评判指标；考虑相依方式对有向相依网络可控性 产生的影响，本文基于经典的有向随机网络 (DER) 和有向无标度网络 (DSF)，构建了 DER-DER、 DER-DSF、DSF-DSF 三类有向相依网络模型，并 在 4 组不同相依比例下，研究了随机相依方式下 的 DER-DER 网络的可控性能，研究发现，随着相 依比例的增加，网络可控性逐渐增强。但每组相 依比例下的网络可控性均会在一定范围内出现大 幅的波动。为了进一步证实相依方式影响着网络 的可控性，通过在随机相依方式下对连续相依比 例下的 3 类有向相依网络可控性进行了仿真，我 A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5 u1 u2 u3 A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5 u1 u2 u3 (c) 最低入度与最低出度节点相依(LI-LO) (b) 最高入度与最低出度节点相依(HI-LO) 图 5 有向相依网络的相依方式 Fig. 5 Dependent way of the interdependent directed net￾work 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 DER−DER HI−HO HI−LO LI−LO 可控性能指标nD 相依比例 F (a) 不同相依方式下DER-DER网络的可控性 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 DER−DSF HI−HO HI−LO LI−LO 可控性能指标nD 相依比例 F (b) 不同相依方式下DER-DSF网络的可控性 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 DSF−DSF HI−HO HI−LO LI−LO 可控性能指标nD 相依比例 F (c) 不同相依方式下DSF-DSF网络的可控性 图 6 不同相依方式下有向相依网络可控性 Fig. 6 Controllability of the interdependent directed net￾work under different dependent way 第 4 期 陈世明，等：有向相依网络的可控性研究 ·607·