教学内容 曲面方程的概念 曲面的实例:水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程F(x,y,x)=0有下述关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形 以下给出几例常见的曲面 例1建立球心在点M0(xy,二0)、半径为R的球面方程 解设M(x,y,z)是球面上任一点, 根据题意有|MM0=R (x-x)+(y-y2)+(=-=)=R 所求方程为(x-x)+(v-y)+(-=0)=R2 特殊地:球心在原点时方程为x2+y2+z2=R2 例2求与原点O及M0(2,34)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程 解设M(x,y,z)是曲面上任一点 根据题意有|MO IMMoI 2 √(x-2)+(y-3)+(=-4)2 所求方程为x+2+(U+1)+(=+ 116 9 例3已知A(1,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的垂直平分面的方程 解设M(x,y,x)是所求平面上任一点, 根据题意有| MA MB 22 教 学 内 容 一、曲面方程的概念 曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面 S 与三元方程 F(x, y,z) = 0 有下述关系： (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； (2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F(x, y,z) = 0 就叫做曲面 S 的方程，而曲面 S 就叫做方程的图形． 以下给出几例常见的曲面. 例 1 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为 R 的球面方程. 解 设 M (x, y,z) 是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 |= R (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 所求方程为 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 x − x0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R 例 2 求与原点 O 及 (2,3,4) M0 的距离之比为 1: 2 的点的全体所组成的曲面方程. 解 设 M (x, y,z) 是曲面上任一点， 根据题意有 , 2 1 | | | | 0 = MM MO ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z 所求方程为: ( ) . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2  =       + + + +      x + y z 例 3 已知 A(1,2,3)， B(2,−1,4) ，求线段 AB 的垂直平分面的方程. 解 设 M (x, y,z) 是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA |=| MB |