84 Convergence of Iterative methods 定理p→0p(B)<1 证明:对A做 Jordan分解,有PAP= ,其中 x110 1,∑n=n,1为A的 eigen value D 则有 D PAPD= λ6 易证:‖4|l=‖ D PAPD1=mx(|+6)=p(4)+ lsis 是由‖x=(PD)x导出的算子范数。 所以只要取<E,就有‖A|b<p(4)+E。§4 Convergence of Iterative methods 定理 Bk → 0   ( B ) < 1 证明：“” 若  是 B 的eigenvalue, 则 k 是 Bk 的eigenvalue 。 则 [ (B)] k = [ max |  | ]k = |  m k |   ( Bk )  || Bk || → 0   (B) < 1 ✓ “” 首先需要一个引理 /* Lemma */ 对任意  > 0, 存在算子范数 || · || 使得 || A ||   (A) +  。 由  (B) < 1 可知存在算子范数|| · || 使得 || B || < 1。 || Bk ||  || B ||k → 0 as k →  Bk → 0 迭代从任意向量出发收敛 Bk → 0  ( B ) < 1 证明：对 A 做 Jordan 分解，有 ，其中 ， ，  i 为 A 的 eigen value。 令 ，则有 易证： 是由 导出的算子范数。 所以只要取  <  ，就有|| A || <  (A) +  。           = − r J J P AP ... 1 1 ni ni i i Ji            =   1 1 0 = = r i ni n 1                 = −1 2 1 n D                        = − − r r D P APD         1 1 1 1  = =  + =  +   − − || || || || max(| | ) ( ) 1 1 1 1 A D P APD i A i r 1 1 || x || || (PD) x || v  −  =