=(m1+m2+……+mk)2+2mk+1(m1+m2+……,+mk)+mkx+12 =(m1+m2+…….+mk)2+2mk+1m1+2mk+1m2+….….+2mk+1mk+mk+2 由归纳假设km2+m2+….+mk)(m+m+……+mb2,以及基本不等式,左 式≥右式,命题成立。 所以rsn2 3.格是一个偏序集,其中每对元素都有一个最大下界和最小上界。 (1)证明一个集合上的所有划分的集合与关系≤构成一个格 (2)如果划分P1是P2的加细,则P1≤P2。(22分,每题11分) 设∏是集合S的所有划分的集合,如果划分P是P2的加细,即如果P1中的每个 集合都是P2中某个集合的子集,则P1≤P2 首先证明(∏,≤)是偏序集 由于P≤P,所以≤是自反的 假设P1≤P2,并且P≤P1。令T∈P,因为P1≤P2,存在集合T∈P2,使得TT 又因为P2≤P1,存在集合T"∈P1,使得T'cT;从而TcT。但是因为P1是划分, 由T=T和 TCTCT推出T=T,于是TeP2。反之,通过交换P1与P2同样得出 P2的每个子集也在P1中。因此P1=P2,并且≤是反对称的 假设P1≤P2并且P2≤P3。令T∈P1,存在集合T∈P2,使得TT;由于P2≤P3,存 在集合T'eP3,使得T'<T”;所以TT,因此P1≤P3。所以≤是传递的。 划分P1和P2的最大下界是划分P,P的子集都是形如TT2的非空集合,其中T∈P1,T2∈ P2,划分P1和P2的最小上界对应于等价关系的划分:x∈S等价于y∈S,如果对某个非负整 数n存在序列x=x0,x,x2,…,xn=y,使得从1到n的每个i,x1和x在P1或者P2的同一元 素中3 =( m1+m2+… … +mk) 2+2 mk+1 ( m1+m2+… … +mk)+ mk+12 =( m1+m2+… … +mk) 2+2 mk+1 m1+2 mk+1 m2+… … +2 mk+1 mk+ mk+12 由归纳假设 k (m1 2+m2 2+… … +mk 2 ) ( m1+m2+… … +mk) 2，以及基本不等式，左 式右式，命题成立。 所以 rsn 2。 3．格是一个偏序集，其中每对元素都有一个最大下界和最小上界。 （1）证明一个集合上的所有划分的集合与关系≤构成一个格。 （2）如果划分 P1 是 P2 的加细，则 P1≤P2。（22 分，每题 11 分） 设是集合 S 的所有划分的集合，如果划分 P1 是 P2 的加细，即如果 P1 中的每个 集合都是 P2 中某个集合的子集，则 P1≤P2。 首先证明（，≤）是偏序集。 由于 P≤P，所以≤是自反的。 假设 P1≤P2，并且 P2≤P1。令 T P1，因为 P1≤P2，存在集合 T’P2，使得 TT’； 又因为 P2≤P1，存在集合 T”P1，使得 T’T”；从而 TT”。但是因为 P1是划分， 由 T=T”和 TT’T”推出 T’=T”，于是 TP2。反之，通过交换 P1 与 P2同样得出 P2的每个子集也在 P1中。因此 P1=P2，并且≤是反对称的。 假设 P1≤P2 并且 P2≤P3。令 T P1，存在集合 T’P2，使得 TT’；由于 P2≤P3，存 在集合 T”P3，使得 T’T”；所以 TT”，因此 P1≤P3。所以≤是传递的。 划分 P1 和 P2 的最大下界是划分 P，P 的子集都是形如 T1T2 的非空集合，其中 T1 P1，T2 P2，划分 P1 和 P2 的最小上界对应于等价关系的划分：xS 等价于 yS，如果对某个非负整 数 n 存在序列 x=x0, x1, x2, …, xn=y，使得从 1 到 n 的每个 i，xi-1和 xi 在 P1 或者 P2 的同一元 素中