第十五讲分离变量法 第7页 解的物理意义 先看特解 un(z, t)=(Cn sin at+Dn cos tat)sin I An sin(wnt+5n) 其中 An cos 5n= Cn, An sin n= D ★un(x,t)代表一个驻波 ★ An sin hr表示弦上各点的振幅分布 ★sin(unt+bn)表示相位因子 ★山n是驻波的圆频率,称为两端固定弦的固有频率或本征频率,与初始条件无关 ★kn称为波数,是单位长度上波的周期数 ★6n是初相位,由初始条件决定 ★在knx=m,即x=m/kn=(m/m)l,m=0,1,2,3.…,n的各点上,振动的振幅恒为0,称 为波节 包括弦的两个端点在内,波节点共有n+1个 ★在knx=(m+1/2)丌,即x=(2m+1)m/2k=(2m+1)/2m,m=0.,1,2,3,…,n-1的各点上 振动振幅的绝对值恒为最大,称为波峰.波峰点共有n个 ★整个问题的解则是这些驻波的叠加 正是因为这个原因,这种解法也称为驻波法 就两端固定的弦来说,固有频率中有一个最小值, 称为基频,其他固有频率wn都是基频∞1的整数倍, 称为倍频 ★弦的基频就决定了所发声音的音调在弦乐器中,当弦的质料一定(即p一定)时,通过改 变弦的绷紧程度(即改变张力T的大小),就可以调节基频ω1的大小 ★解式中基频和倍频的叠加系数{Cn}和{Dn}的相对大小决定了声音的频谱分布,即决定了声 音的音色Wu Chong-shi ❻❼❽❾ ❿➀➁➂➃ (➄) ➅ 7 ➆ ➇➈➉➊➋➌ ➍➎➏✽ un(x, t) =  Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x = An sin (ωnt + δn) sin knx, ➐ ➑ ωn = nπ l a, kn = nπ l , An cos δn = Cn, An sin δn = Dn. F un(x, t) ➒➓➔✳→➣ F An sin knx ➓↔↕◆➙➛✾➜➝P➞ F sin ￾ ωnt + δn
➓↔➟➠❈➡ F ωn ❅ →➣✾ ➢➤➥✶➦➧➨➩ ➫❇↕✾ ➫➭➤➥➯➲➳➤➥✶➵➸➺❭❪➻➼ F kn ➦➧➣✼✶❅➽➠➾➚◆➣✾➪➶✼ F δn ❅ ➸ ➟➠✶❂➸➺❭❪❆❇ F ❶ knx = mπ ✶➹ x = mπ/kn = (m/n)l, m = 0, 1, 2, 3, · · ·, n ✾➙➛◆✶➜➘✾➜➝➴➧ 0 ✶➦ ➧➣➷✯ ➬➮↕ ✾➨✳➩➛❶ ➱✶➣➷➛✃➭ n + 1 ✳✯ F ❶ knx = (m + 1/2)π ✶➹ x = (2m + 1)π/2kn = (2m + 1)l/2n, m = 0, 1, 2, 3, · · ·, n − 1 ✾➙➛◆✶ ➜➘➜➝✾❐❍❒➴➧❮❰✶➦➧➣Ï✯➣Ï➛✃➭ n ✳✯ F Ð ✳✴✵✾✽Ñ❅ ✱Ò→➣✾ÓÔ✯ ⑤① ÕÖ×ØÙ Õ✶ ×Ú❡✮ÛÜÖ ÝÞß ✯ ❋➨➩ ➫❇ ✾ ↕à❖✶➫➭➤➥ ➑➭➔ ✳❮á❒ ✶➹ ω1 = π l a, ➦➧ âã ✶➐ä ➫➭➤➥ ωn ✷ ❅å➤ ω1 ✾ Ð ✼æ✶ ωn = nω1, n = 2, 3, · · · , ➦➧ çã ✯ F ↕ ✾ å ➤❋❆❇●èéêë✾ ìí ✯❶ ↕îï ➑✶❸ ↕ ✾❊ð➔❇ (➹ ρ ➔❇) ❹✶ñòó ❘ ↕ ✾ôõö➚ (➹ó❘÷ø T ✾❰á) ✶❋ù⑧ú➷ å ➤ ω1 ✾❰á✯ F ✽û ➑å ➤ ❄ æ➤✾ÓÔ❃✼ {Cn} ❄ {Dn} ✾ ➟❍❰á❆❇●êë✾➤üP➞✶➹ ❆❇●ê ë ✾ ìý ✯