9矩阵特征值计算 在实际的工程计算中,经常会遇到求n阶方阵A的特征值( Eigenvalue)与特征向量 ( Eigenvector)的问题。对于一个方阵A,如果数值λ使方程组 即(4-AL)x=0有非零解向量( SolutionⅤ ector)x,则称λ为方阵A的特征值,而非零向量x为 特征值所对应的特征向量,其中Ln为n阶单位矩阵 由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂,因此在实际计算中,往往采取一些 数值方法。本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂( Power)法、求对称方阵特 征值的雅可比法和单侧旋转(One- side rotation法以及求一般矩阵全部特征值的QR方法及 一些相关的并行算法 1.1求解矩阵最大特征值的乘幂法 111乘幂法及其串行算法 在许多实际问题中,只需要计算绝对值最大的特征值,而并不需要求矩阵的全部特征值 乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。记实方阵A的n个特征值为A (1,2,…,m),且满足: l2|2|≥|a32…≥|n 特征值λ对应的特征向量为x。乘幂法的做法是:①取n维非零向量w作为初始向量:② 对于k=1 ,做如下迭代: uk=Avk-1 V=Wk/uk 直至脚b-k<e为止,这时r就是A的绝对值最大的特征值x所对应的特 征向量x。若v与v的各个分量同号且成比例,则A=:若v1与v的各个分量异号 且成比例,则A1=-|ll。若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较 运算时间为一个单位时间,则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一 次规格化操作,所以下述乘幂法串行算法21.1的一轮计算时间为n2+2n=O(n2)。 算法21.1单处理器上乘幂法求解矩阵最大特征值的算法 输入:系数矩阵Anxn,初始向量vn×1,ε 输出:最大的特征值max Begi while( diff>)de ()for i=l to n do (1.2)for=I to n do sm=sm+a[i引*xU enal io1. 9 矩阵特征值计算 在实际的工程计算中，经常会遇到求 n 阶方阵 A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量 (Eigenvector)的问题。对于一个方阵 A，如果数值 λ 使方程组 Ax=λx 即 (A-λIn)x=0 有非零解向量(Solution Vector)x，则称 λ 为方阵 A 的特征值，而非零向量 x 为 特征值 λ 所对应的特征向量，其中 In 为 n 阶单位矩阵。 由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂，因此在实际计算中，往往采取一些 数值方法。本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特 征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的 QR 方法及 一些相关的并行算法。 1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法 1.1.1 乘幂法及其串行算法 在许多实际问题中，只需要计算绝对值最大的特征值，而并不需要求矩阵的全部特征值。 乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。记实方阵 A 的 n 个特征值为 λi i=(1,2, …,n)，且满足： │λ1│≥│λ2│≥│λ3│≥…≥│λn│ 特征值 λi 对应的特征向量为 xi。乘幂法的做法是：①取 n 维非零向量 v0 作为初始向量；② 对于 k=1,2, …,做如下迭代： uk =Avk-1 vk= uk /║uk║∞ 直至 −    uk+1 uk ε 为止，这时 vk+1 就是 A 的绝对值最大的特征值 λ1 所对应的特 征向量 x1。若 vk-1 与 vk的各个分量同号且成比例，则 λ1=║uk║∞；若 vk-1 与 vk的各个分量异号 且成比例，则 λ1= -║uk║∞。若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较 运算时间为一个单位时间，则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一 次规格化操作，所以下述乘幂法串行算法 21.1 的一轮计算时间为 n 2+2n=O(n 2 )。 算法 21.1 单处理器上乘幂法求解矩阵最大特征值的算法 输入：系数矩阵 An×n，初始向量 v n×1，ε 输出：最大的特征值 max Begin while (│diff│>ε) do (1)for i=1 to n do (1.1)sum=0 (1.2)for j= 1 to n do sum=sum+a[i,j]*x[j] end for