D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2005.05.042 第27卷第5期 北京科技大学学报 Vol.27 No.5 2005年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2005 增强假设变形梯度有限元方法稳定性计算 陈章华刘洪波马文江 北京科技大学应用科学学院数力系，北京100083 摘要讨论了非协调增强假设变形梯度有限元的基本理论、所采用的本构关系和有限元 列式.为了克服原先由Simo建议的方法中所固有的缺陷，即在模拟压缩变形时容易出现奇异 能量模式而导致计算失稳甚至崩溃，对原方法中有关内变量和应力更新算法进行了改进.计 算结果表明，改进的方法在模拟压缩和拉伸模型时，具有较好的计算稳定性. 关键词大变形：增强假设应变有限元：有限单元法：应力光滑 分类号0241.82：TB115 在塑性成型分析中，有限元法可以有效地处 如颈缩（轴对称问题）或剪切带（平面应变问题）， 理塑性成型中材料、几何、边界三重非线性问题， 从而不会产生符合实际需要的极限载荷.而 是当前的发展趋势.然而，常规低阶协调单元存 EASM单元可以通过采用一附加的应变场，即增 在着计算精度差、过于刚硬、容易自锁等缺点四. 强应变场，来增加单元的自由度数，从而提高单 为解决此问题，很多学者开展了深入研究，其中， 元柔性和适应变形局部化的特点.EASM单元将 经典的Wilson非协调元应用在小变形计算时具 应变场划分为两部分，协调应变场V“和增强应 有很好的性能，但不能直接用于几何非线性问 变场8，即： 题.目前又发展了许多低阶高精度非协调单元， =V'u+8 (1) 如增强假设应变有限元(Enhanced Assumed Strain 然而，增强应变场不可任意选取，为满足具 Modes),简称EASM.增强应变列式最初由Simo 有三个独立场的Hu-Vashizu广义变分原理，必须 于1990年因无限小问题提出，1992年在广义变 在单元内部先对应力场σ施加相对于增强假设应 分原理的基础上给出了双线性四边形及三角形 变场的L,正交变化条件： 模式，在模拟几何非线性问题时，具有较好的特 (o,)L=Ja-idV-0 (2) 性.1993年，Simo进一步发展了一个用于三维问 进一步，为了不使作为独立变量的假设应变出现 题的无自锁单元QMI/E1,并且采用修正的积分 在总刚度方程中，独立变量需要在单元内部消 准则，但在压缩变形时仍存在Hourglass现象阁. 去，即将独立的增强应变在单元一级用静态凝聚 1996年Aremero等提出增强变形梯度场剧，其优 方法消掉. 点是具有高精度，适合于金属成型的模拟计算， 1.2有限元列式 并可以反映金属塑性变形后期出现的局部化现 空间描述的平衡方程的经典弱形式为： 象，但在模拟压缩变形时仍存在一定问题. o:gradδwdr=∫pb-δaud4jt-iuds (3) 式中，V为参考构型，p为密度，o为Cauchy应力， 1增强假设应变有限元法 δ4为真实位移，b,分别为单位体力和面力， 11基本思想 如前所述，EASM的关键思想在于将变形梯 常规四节点等参单元因单元节点数过少，对 度附加一独立场，即增强位移梯度H,得 变形过度约束，容易产生自锁现象，且刚度平均 F=1+gradu+H (4) 化，在实际问题中难于模拟出变形局部化现象， 其中，变形梯度不能任意增强，依照Hu-Washizu 收稿日期：2004-10-18修回日期：200411-30 变分原理需附加两个基本限制条件： 基金项目：归国人员基金资助课题 作者简介：陈章华(1959一，男，教授，博士 (a)增强场的切线空间与名义应力场L正交.第 2 7 卷 第 5期 20 0 5 年 1 0 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u r n a l o f U n诫川 iyt o f S e el n c e a n d Te c h n o ol yg B e ij妞 g V b】 . 2 7 N 0 . 5 O C t . 2 0 0 5 增强假设变形梯度有限元方法稳定性计算 陈章华 刘 洪 波 马文 江 北 京科 技大 学应用 科学 学院 数力 系 , 北京 10 0 0 83 摘 要 讨 论 了非协 调增 强假 设变 形梯 度有 限元 的基 本 理论 、 所 采 用 的本 构关 系和 有 限元 列式 . 为 了克服 原先 由 is om 建 议 的方法 中所 固有 的缺 陷 , 即在 模拟 压缩 变形 时容 易 出现 奇异 能量模 式 而导致 计算 失稳甚 至崩 溃 , 对 原方 法 中有 关 内变 量和 应 力更 新算 法进行 了改进 . 计 算结 果表 明 , 改进 的方法 在模拟压 缩和 拉伸 模型时 , 具有 较好 的计 算 稳定 性 . 关键词 大变形 ; 增 强假 设应 变有 限元 ; 有 限单元 法 ; 应 力 光滑 分类号 0 2 4 1 . 82 ; T B l l s 在 塑性 成 型分 析 中 , 有 限元 法可 以有效 地 处 理 塑性成 型 中材 料 、 几何 、 边界 三重 非线 性 问题 , 是 当前 的发 展趋 势 1 . 然而 , 常规低 阶协 调单 元存 在着 计 算 精度 差 、 过 于 刚硬 、 容 易 自锁等 缺 点『21 . 为解 决此 问题 , 很多 学者 开展 了深 入研 究 . 其 中 , 经典 的 iWl s on 非协 调 元`3 ,应 用在 小变 形计 算 时具 有 很好 的性 能 , 但 不 能直 接 用 于 几 何 非线 性 问 题 . 目前 又 发展 了许 多低 阶 高精 度 非协 调 单元 , 如增 强假 设应 变 有 限元 (E hn an ce d A s um ed S atr in M od es ) , 简称 E A S M . 增 强应 变 列 式最 初 由 S汕 。 于 19 9 0 年 因无 限小 问题 提 出`4] , 19 92 年 在 广义 变 分 原理 的基 础 上 给 出 了双 线 性 四边 形 及 三 角 形 模 式 `5] , 在模 拟几 何 非线性 问题 时 , 具 有较 好 的特 性 . 19 93 年 , is m o 进 一 步发 展 了一 个 用 于三 维 问 题 的无 自锁 单 元 Q M I尼 1 , 并 且采 用 修 正 的积分 准 则 , 但 在压 缩 变形 时仍 存在 H o u 艰la s 现 象 『6] . 19 96 年 A er m e or 等提 出增 强变 形 梯度 场 【7,8] , 其优 点 是具 有 高精 度 , 适 合 于金 属成 型 的模 拟 计算 , 并 可 以反 映金 属 塑 性 变 形 后期 出现 的局 部化 现 象 , 但 在模 拟 压 缩 变形 时 仍 存在 一 定 问题 . 如颈 缩 ( 轴对 称 问题 ) 或 剪切 带 ( 平面 应变 问题 ) , 从 而 不 会 产 生 符 合 实 际 需 要 的 极 限 载 荷 . 而 E A S M 单 元 可 以通 过采 用 一 附加 的应 变场 , 即增 强应 变 场 , 来 增 加 单元 的 自由度 数 , 从而 提 高 单 元柔 性 和适 应 变 形局 部 化 的特 点 . E A SM 单 元将 应 变 场划 分 为 两 部分 , 协 调 应 变场 V ,u 和 增 强应 变场 居 , 即 : =e 甲 . “ 箱 ( l) 然 而 , 增 强应 变 场若不 可 任 意选 取 . 为 满足 具 有 三个 独立 场 的 Hu , W砒h 迈肚 广 义变 分 原理 , 必须 在 单元 内部先对 应 力场 口施加 相 对于 增 强假 设应 变 场若的肠 正交 变 化条 件 : ( 。扮丁 。 · 动=V0 ( 2 ) 进 一步 , 为 了不使 作为 独 立变 量 的假 设应 变 出现 在 总 刚 度方 程 中 , 独 立 变 量 需 要在 单元 内部 消 去 , 即将独 立 的增 强应 变 在单 元一 级用 静 态凝 聚 方 法 消掉 . L Z 有 限 元 列式 空 间描 述 的平 衡方 程 的经 典弱 形 式 为 : J 。 : 卿 6 o d。 了 , b · 。 u d+V 丁 卜 6 u ds ( 3 ) 1 增 强 假 设 应 变 有 限 元 法 L l 基 本思 想 常规 四节 点 等参 单 元 因单 元节 点 数过 少 , 对 变形 过度 约束 , 容 易产 生 自锁 现 象 , 且 刚度 平 均 化 , 在 实 际 问题 中难 于 模拟 出变 形局 部 化现 象 , 收 稿 日期 : 20 -4 1仁 18 修回 日期 : 2 0 0 4 一 1 1习 0 基 金项 目 : 归 国人员 基金 资助 课题 作 者简介 : 陈章 华 ( 19 5 9一) , 男 , 教 授 , 博士 式 中 , 犷为 参 考构 型 , P 为密度 , 。 为 C au c妙 应 力 , 5 “ 为真 实位 移 , b , t 分 别 为单位 体 力 和 面力 . 如 前 所 述 , E A S M 的关键 思想 在 于将 变 形梯 度 附加 一独 立 场 , 即增 强位 移 梯度 H , 得 =F 1+ 脚血+ 万 ( 4 ) 其 中 , 变形 梯 度不 能任 意增 强 , 依 照 H u - 叭a/ s h咖 变 分 原理 需 附加两 个 基本 限制 条件 : a( ) 增 强场 的切 线 空 间 与名 义应 力 场从 正 交 . DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2005. 05. 042