二、乘法公式 由条件概率的定义:P(A/B)=P(AB)P(B)→P(AB)=P(B)P(AB)(P(B)>0) P(B/A=P(AB)/P(A)=P(AB)=P(AP(B/A (P(A)>0) 定理(乘法公式):一般地,对任意n个事件A1,,A,若P(A1An)>0,则 P(A.A)=P(A)P(A,/A)P(A,/A,A).P(A /A.A-D) 证明:因为A1A2AncA1A11c…cA1A2cA 由概率的性质4的推论(单调性)有:P(A1)≥P(A1A2)2≥P(A1A12A)>0 又由条件概率的定义有: P(AA,A,) ()式右=P(A)PA4)P(4)P(A4)P(A142、A)P(41A2、A) =P(A1A2A1)=左 例3:波伊亚(Poya)罐子模型:罐子中有b只黑球,r只红球,从中任取一球, 观察颜色后放回,并加进同颜色的c个球,再到第二次,方法同上,如此进行下去, 求:①第一、二次取到红球,第三次取到黑球的概率 ②第一、三次取到红球,第二次取到黑球的概率 ③在n次的抽取中,前n1次取到黑球,后面的n2=n-n1次取到红球的概率 解:令B={第i次取到黑球}:R,={第j次取到红球} 则①P(RR2B3)=P(R1)P(R2R)P(B3/RR2)= r+c b+r b+r+c b+r+2c 2P(RB,R)=P(R).P(B,/R).P(R/R, B,) r+c b+r b+r+c b+r+2c 3P(B:B,R,+R, =6 b+c b+2c b+(n-lc r r+(n2-D)c b+rb+r+c b+r+2c b+r+(n-D)cc+r+nc b+r+(n-I)c 注意这个答案只与黑球及红球出现的次数有关,而与出现的顺序无关,这个模型曾 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率15概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 15 二、乘法公式 由条件概率的定义： P(A/ B) = P(AB)/ P(B)  P(AB) = P(B)P(A/ B) (P(B)  0) P(B / A) = P(AB)/ P(A)  P(AB) = P(A)P(B / A) (P(A)  0) 定理 1（乘法公式）：一般地，对任意 n 个事件 A A n ,..., 1 ，若 ( ... ) P A1 An ＞0，则 ( ... ) P A1 An ＝ ( ) ( / ) ( / )... ( / ... ) P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P A n A1 A n−1 （＊） 证明：因为 A 1 A2 1 1 1 2 1 ...An  A ...An−  ...  A A  A 由概率的性质 4 的推论（单调性）有： P(A1 )  P(A1A2 )  ...  P(A1A2 ...An−1 )  0 又由条件概率的定义有： （＊）式右＝ ... ( ... )/ ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( )/ ( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 P A A An P A A An− P A A P A A A P A P A A P A = P(A1A2 ...An ) = 左 例 3：波伊亚（Polya）罐子模型：罐子中有 b 只黑球，r 只红球，从中任取一球， 观察颜色后放回，并加进同颜色的 c 个球，再到第二次，方法同上，如此进行下去， 求：①第一、二次取到红球，第三次取到黑球的概率 ②第一、三次取到红球，第二次取到黑球的概率 ③在 n 次的抽取中，前 n 1 次取到黑球，后面的 n 2 =n－n 1 次取到红球的概率。 解：令 Bi ＝{第 i 次取到黑球}； Rj ＝{第 j 次取到红球} 则① b r c b b r c r c b r r P R R B P R P R R P B R R 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 3 1 2 + +  + + +  + =   = ② b r c r c b r c b b r r P R B R P R P B R P R R B 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 3 1 2 + + +  + +  + =   = ③ b r n c r n c c r n c r b r n c b n c b r c b c b r c b c b r b P B Bn Rn Rn ( 1) ( 1) ... ( 1) ( 1) ... 2 2 ( ... ... ) 2 1 1 1 1 1 1 1 + + − + − + + − + + + − + + + + + + + + = 注意这个答案只与黑球及红球出现的次数有关，而与出现的顺序无关，这个模型曾