多元函数的极值与条件极值 2003级数理基地班数学分析课教师张静 、函数的极值 1.函数的极值与最值的区别 函数的极大(小)值与整个区域上的最大(小)值不可混为一谈,前者是指函数在一点 附近的最大(小)值,是局部性的,后者是函数在整个区域上的最大(小)值,是整体性的。 2.函数取得极值的必要条 定理:设函数z=f(x,y)在点(x0,y)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则它在该 点的偏导数必然为零:fx(x0,y0)=0,f,(xo,y0)=0 注:该定理只是给出了偏导数存在时,函数取得极值的必要条件,但满足fx(x0,y0)=0, ∫(x0,y0)=0的点不一定是函数的极值点,而且取得极值的点处也可能是偏导数不存在的 例:偏导数不存在的点可能是极值点,设=1(x)=x,x≥0 xx<o 由极值的定义可以很容易得出点(0,y),vy∈R是函数的极小值点,但在点 (0,y),vy∈R函数的偏导数f(0,y)不存在。 例:满足f(x0,y0)=0,J,(x0,y0)=0的点不一定是函数的极值点。 设=f(xy)=y2-x2,则f(xy)=-2x,f,(xy)=2y,故在点(0,0)有f0.)= ∫(0.0)=0,但(0,0)点既不是这个函数的极大值点也不是极小值点。因为这个函 数在原点的值为零,而在原点附近当y=0时,f(x,0)=-x2<0,当x=0时 f(0,y)=y2>0。 3.函数取得极值的充分条件 定理:设函数〓=∫(x,y)在点(x0,y)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,又 f(x0,y)=0,f,(x0,y)=0,令A=fx(x0,y0),B=f(xo,y0) C=/p(x,y), 则∫(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下 (1)AC-B2>0时具有极值,A<0时为极大值,A>0时为极小值; (2)AC-B2<0时没有极值 (3)AC-B2=0时可能有极值,也可能无极值,需进一步讨论。 4.典型例题 例:证明函数二=(1+e)cosx-e有无穷多个极大值,但无极小值 证明:x=-(1+e)snx 二,=e"cosx-e" sinx l=,=e"(cosx )=0解得{=6r k=0,±1,±2,±3,多元函数的极值与条件极值 2003 级数理基地班 数学分析课 教师 张静 一、函数的极值 1．函数的极值与最值的区别 函数的极大（小）值与整个区域上的最大（小）值不可混为一谈，前者是指函数在一点 附近的最大（小）值，是局部性的，后者是函数在整个区域上的最大（小）值，是整体性的。 2．函数取得极值的必要条件 定理：设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且在点 ( , ) 0 0 x y 处有极值，则它在该 点的偏导数必然为零： f x (x0 , y0 ) = 0, f y (x0 , y0 ) = 0 。 注：该定理只是给出了偏导数存在时，函数取得极值的必要条件，但满足 f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 的点不一定是函数的极值点，而且取得极值的点处也可能是偏导数不存在的 点。 例：偏导数不存在的点可能是极值点，设    −   = = 0, , 0, ( , ) x x x x z f x y 由极值的定义可以很容易得出点 (0, y), yR 是函数的极小值点，但在点 (0, y), yR 函数的偏导数 f (0, y) x 不存在。 例：满足 f x (x0 , y0 ) = 0, f y (x0 , y0 ) = 0 的点不一定是函数的极值点。 设 2 2 z = f (x, y) = y − x ，则 f x y x f x y y x ( , ) = −2 , y ( , ) = 2 ，故在点 (0, 0) 有 f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 ，但 (0, 0) 点既不是这个函数的极大值点也不是极小值点。因为这个函 数在原点的值为零，而在原点附近当 y = 0 时， ( , 0) 0 2 f x = −x  ，当 x = 0 时， (0, ) 0 2 f y = y  。 3．函数取得极值的充分条件 定理：设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又 f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 ， 令 ( , ) 0 0 A f x y = xx ， ( , ) 0 0 B f x y = xy ， ( , ) 0 0 C f x y = yy ， 则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC − B  时具有极值， A  0 时为极大值， A  0 时为极小值； （2） 0 2 AC − B  时没有极值； （3） 0 2 AC − B = 时可能有极值，也可能无极值，需进一步讨论。 4．典型例题 例：证明函数 y y z = (1+ e ) cos x − ye 有无穷多个极大值，但无极小值。 证明： z e x y x = −(1+ )sin y y y y z = e cos x − e − ye 由     = − − = = − + = (cos 1 ) 0 (1 )sin 0 z e x y z e x y y y x 解得    = − − = ( 1) 1 k y x k k = 0, 1,  2,  3, ．