例5证明x>0时1+xln(x+√1+x2)>1+x2 证令f(x)=1+xln(x+√1+x2)-√1+x2 1 →f(x)=ln(x+√1+x2)+x √1+x 1+x =ln(x+√1+x2) →f(x) >0 1+x →x>Q时f(x)↑→f(x)>f(0)=0 →x>0时f(x)个→f(x)>f(0)=0 →1+xln(x+√1+x2)>√1+x例5 证明 x  0时 2 2 1+ xln( x + 1+ x )  1+ x 证 2 2 令 f (x) = 1+ x ln( x + 1+ x ) − 1+ x 2 2 2 1 1 1 ( ) ln( 1 ) x x x f x x x x + − +   = + + +  ln( 1 ) 2 = x + + x 2 1 1 ( ) x f x +   =  0  x  0时 f (x)   f (x)  f (0) = 0  x  0时 f (x)   f (x)  f (0) = 0 2 2  1+ x ln( x + 1+ x )  1+ x