解设A为事件“产品合格”,B为事件“机器调整良好 P(AB)=0.98,P(AB)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05 所求的概率为P(B|A)= P(AIB)P(B) P(|B)P(B)+P(A|B)PB)=0.97 这就是说,当生产出第一件产品是合格时,此时机器调整良好的概率为0.97.这里,概 率0.95是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率 而在得到信息(即生产的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做 叫做后验概率 例12设某批产品中,甲,乙,丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的 次品率分别为4%,2%,5%,现从中任取一件 (1)求取到的是次品的概率; (2)经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲厂生产的概率 解记事件A1:“该产品是次品”,事件A2:“该产品为乙厂生产的”,事件A3:“该产品为 丙厂生产的”,事件B:“该产品是次品”.由题设,知 P(A1)=45%,P(A2)= P(B|A1)=49%,P(B|A2)=2%,P(B|A3)=5%, (1)由全概率公式得PB)=∑P(4)P(B|A)=3% (2)由贝叶斯公式(或条件概率定义),得 P(AIB) P(AB) P(AP(B A, P(B) P(B) 例13根据以上的临床记录,某种诊断癌症的是眼睛有如下的效果:若以A表示事件“试 验反应为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则有P(C)=095,P(A|C)=0.95 现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)=0.005,试求 (C|A) 解由题设,有 P(C)=1-PC)=0.995,P(A|C)=1-P(A|C)=0.05 P(AIC)P(C) 由贝叶斯公式得PC4=P(ACP(C)+P(CPC =0.087 注:本题表明,虽然P(|C=095P(A|C=095,这两个概率都比较高,但 P(C|A)=0.087,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患癌症 例148支步枪中有5支已校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶 的概率为08;用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击, 结果中靶,求所用的枪是校准过的概率 解设B1={使用的枪校准过},B2={使用的枪未校准},A={射击时中靶},则B1,B2是解 设 A 为事件“产品合格”, B 为事件“机器调整良好”. P(A| B) = 0.98, P(A| B) = 0.55, P(B) = 0.95, P(B) = 0.05, 所求的概率为 P(B | A) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) P A B P B P A B P B P A B P B + = = 0.97. 这就是说, 当生产出第一件产品是合格时, 此时机器调整良好的概率为 0.97. 这里, 概 率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率. 而在得到信息(即生产的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即 0.97)叫做 叫做后验概率. 例 12 设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占 45%, 35%, 20%, 各厂的产品的 次品率分别为 4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, (1) 求取到的是次品的概率; (2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率. 解 记事件 : A1 “该产品是次品”, 事件 : A2 “该产品为乙厂生产的”, 事件 : A3 “该产品为 丙厂生产的”, 事件 B : “该产品是次品”. 由题设, 知 ( ) 45%, P A1 = ( ) 35%, P A2 = ( ) 20%, P A3 = ( | ) 4%, P B A1 = ( | ) 2%, P B A2 = ( | ) 5%, P B A3 = (1) 由全概率公式得 P(B) ( ) ( | ) 3 1 i i P Ai P B A = = = 3.5%. (2) 由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得 ( | ) P A1 B ( ) ( ) 1 P B P A B = ( ) ( ) ( | ) 1 1 P B P A P B A = = 51.4%. 例 13 根据以上的临床记录，某种诊断癌症的是眼睛有如下的效果:若以 A 表示事件“试 验反应为阳性”，以 C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 P(A|C) = 0.95,P(A |C) = 0.95 现在对自然人群进行普查, 设被试验的人患有癌症的概率为 0.005, 即 P(C) = 0.005 , 试求 P(C | A). 解 由题设, 有 P(C) =1− P(C) = 0.995, P(A|C) =1− P(A |C) = 0.05, 由贝叶斯公式, 得 0.087. ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) = + = P A C P C P A C P C P A C P C P C A 注 : 本题表明 , 虽 然 P(A|C) = 0.95, P(A |C) = 0.95, 这 两 个 概 率 都 比 较 高 , 但 P(C | A) = 0.087, 即平均 1000 个具有阳性反应的人中大约只有 87 人确患癌症. 例 14 8 支步枪中有 5 支已校准过，3 支未校准. 一名射手用校准过的枪射击时，中靶 的概率为 0.8; 用未校准的枪射击时，中靶的概率为 0.3. 现从 8 支枪中任取一支用于射击， 结果中靶，求所用的枪是校准过的概率. 解 设 B1 = {使用的枪校准过}, B2 = {使用的枪未校准}, A = {射击时中靶},则 1 2 B ,B 是