·722· 智能系统学报 第13卷 △6={0，±△8，±2△0,3A (36) SP={P1,P2,…,Pw,P∈S,j=1,2,…,M (38) 由式(36)可知，本文算法中的量子旋转角扩 全局最优解的位置空间为 大了3倍，呈现双向性，避免了混沌序列的迭代计 S=(P,PES]=S (39) 算和多次比较的查表操作，节省了运算时间。 根据QWPEA算法的流程图可知，QWPEA 2.3 COWPEA算法的步骤 算法的解算过程遵循着反复迭代，逐渐求精的过 1)初始化参数，根据1.2.2节的双策略对量子 程，该过程中包括目标函数适应度值的评价、 狼群的初始量子位进行初始化，并采用二进制序 Pt位置和gen位置的选择，以及人工狼的位置更 串的形式初始化狼群中的个体狼位置，使p= 新，从而使狼群达到更优状态。因此，可用随机 ,计算初始狼群个体的适应度值，同时对算法的 映射运算过程来抽象表示QWPEA算法的流程。 基本参数进行初始化操作。 设(2，A,P)是狼群搜索的概率空间，可以给出 2)根据met函数计算人工狼与猎物资源之间 CQWPEA搜索算子的定义，见定义5。 的平均最优位置值meto 定义5 CQWPEA算法的搜索算子T是通过 3)根据方程式(29)、(30)计算局部搜索算子 逐步迭代方式对个体狼的当前位置进行迭代搜 Pd,Pa的值。 索，以获得个体狼的最好位置的过程，该过程是 4)根据初始狼群的适应度函数值计算种群中 从人工狼当前位置的元胞状态空间以及全局位置 每个个体狼位置值，并与上一次迭代的局部最优 的元胞状态空间随机映射到个体狼最好位置状态 值进行比较，如果适应度值t(X)<f(pr),则用 空间，其映射形式为 P=X更新局部最优位置；反之，则不更新；转 T:QxSxXSPxS8→S (40) 入步骤5)。 CQWPEA算法在每次迭代解算过程中产生 5)量子人工狼按照式(31)(36)进行元胞邻 一次映射TCQWPEA。设X()和P(①分别为第f次迭代 域搜索，并计算狼群体中新的适应度值。将狼群 过程中产生的当前位置的种群和个体最好位置种 的全局最优位置值gea与上一次的全局最优位置 群，X(t+1)、P(t+1)、P(t+1)分别为第t+1次迭代 值gewr-进行比较，如果f(geua)<f(gew-),则替换 产生的人工狼群位置、个体狼位置以及全局最好 原最优位置值，反之，不更新。另外在量子旋转 位置，则 角中，如果△0=0，对狼群的量子编码位进行交 P(t+1)=T(ω，X(t),P(),Pg() (41) 叉，交换量子位概率幅a与B。 式中：t=0,1,…,T-1:T为最大游走次数或迭代次数。 6)按头狼产生规则和猎物气息元胞邻居空间 实验表明，CQWPEA算法中每一代全局最好 的演化规则对头狼位置p进行更新，邻域搜索 解位置的适应度值序列是一个递增序列，即 (42) 同4)。 f(P-i)≤f(Pg)≤f(P+i) T)将局部搜索算子Pd、Pa的值转换为全局最 式中：P-1∈P(t-1)、Pu∈P(0、P41∈P(t+1)分别 优位置值。 表示第t-1、t、t+1代的全局最好解位置。 8)判断是否满足迭代次数kx要求，如果满 在CQWPEA算法中，解算优化问题时，通常 只需关注搜索过程中狼群攻击获得的最好解，不 足，则输出头狼的位置p,即所求解问题的最优 解，否则转人2)。 妨将迭代狼群体用全局最好位置来代替。由此 9)输出目前的最优解集和最优值。 对CQWPEA算法的映射过程进行重新定义，其形 式为 3 CQWPEA算法的收敛性分析 Px1=T(ω，Pg),P∈P(),P41∈Pt+1)(43) 在CQWPEA算法中，解算优化问题的过程可 本节将用泛函分析方法31对CQWPEA算法 视为元胞演化空间之间的映射。以下采用随机映 的收敛性进行分析证明。令二进制编码字符集 射的方法证明和分析CQWPEA算法的收敛性。 k=0,1,采用长度为D的二进制位串表示头狼位 定义6定义度量d:S×S一R,其中d的表达 置编码，编码空间S={0,1P,S1=2P。假设狼群规 式为 模为M,狼群单钱位置集合为X,头狼最佳位置集 d(Pxi.Pj)=c-f(P)-(c-f(Pj))=f(Px)-f(Pj) 合为P,则狼群的当前位置空间可表示为 (44) Sx={X1,X2,…,Xw),X∈S,j=1,2,…,M(37) 式中：c→o;P,PjeS;(S,d)为完备可分的度量 狼群中人工狼的最佳位置空间为 空间。∆θ g+1 i j = {0, ±∆θ, ±2∆θ, 3∆θ} (36) 由式 (36) 可知，本文算法中的量子旋转角扩 大了 3 倍，呈现双向性，避免了混沌序列的迭代计 算和多次比较的查表操作，节省了运算时间。 2.3 CQWPEA 算法的步骤 x k id pbest = x k id 1) 初始化参数，根据 1.2.2 节的双策略对量子 狼群的初始量子位进行初始化，并采用二进制序 串的形式初始化狼群中的个体狼位置 ，使 ，计算初始狼群个体的适应度值，同时对算法的 基本参数进行初始化操作。 mbest mbest 2) 根据 函数计算人工狼与猎物资源之间 的平均最优位置值 。 pid, pjd 3) 根据方程式 (29)、(30) 计算局部搜索算子 的值。 fit(Xi) <f (pbesti) pbesti = Xi 4) 根据初始狼群的适应度函数值计算种群中 每个个体狼位置值，并与上一次迭代的局部最优 值进行比较，如果适应度值 ，则用 更新局部最优位置；反之，则不更新；转 入步骤 5) 。 gbestid gbesti−1 f (gbestid)<f (gbesti−1) ∆θ = 0 α β 5) 量子人工狼按照式 (31)~(36) 进行元胞邻 域搜索，并计算狼群体中新的适应度值。将狼群 的全局最优位置值 与上一次的全局最优位置 值 进行比较，如果 ，则替换 原最优位置值，反之，不更新。另外在量子旋转 角中，如果 ，对狼群的量子编码位进行交 叉，交换量子位概率幅 与 。 pd 6) 按头狼产生规则和猎物气息元胞邻居空间 的演化规则对头狼位置 进行更新，邻域搜索 同 4)。 7) 将局部搜索算子 pid、pjd 的值转换为全局最 优位置值。 kmax pd 8) 判断是否满足迭代次数 要求，如果满 足，则输出头狼的位置 ，即所求解问题的最优 解，否则转入 2)。 9) 输出目前的最优解集和最优值。 3 CQWPEA 算法的收敛性分析 k={0,1} D S = {0,1} D ,|S | = 2 D M X P 本节将用泛函分析方法[13-14]对 CQWPEA 算法 的收敛性进行分析证明。令二进制编码字符集 ，采用长度为 的二进制位串表示头狼位 置编码，编码空间 。假设狼群规 模为 ，狼群单钱位置集合为 ，头狼最佳位置集 合为 ，则狼群的当前位置空间可表示为 S X = { (X1 ,X2 ,··· ,XM),Xj ∈ S, j = 1,2,··· , M } (37) 狼群中人工狼的最佳位置空间为 S P = { (P1 ,P2 ,··· ,PM),Pj ∈ S, j=1,2,··· , M } (38) 全局最优解的位置空间为 S g= { Pg,Pg ∈ S } = S (39) pbest gbest 根据 QWPEA 算法的流程图[6]可知，QWPEA 算法的解算过程遵循着反复迭代，逐渐求精的过 程，该过程中包括目标函数适应度值的评价、 位置和 位置的选择，以及人工狼的位置更 新，从而使狼群达到更优状态。因此，可用随机 映射运算过程来抽象表示 QWPEA 算法的流程。 设 (Ω,A,P) 是狼群搜索的概率空间，可以给出 CQWPEA 搜索算子的定义，见定义 5。 定义 5 CQWPEA 算法的搜索算子 T 是通过 逐步迭代方式对个体狼的当前位置进行迭代搜 索，以获得个体狼的最好位置的过程，该过程是 从人工狼当前位置的元胞状态空间以及全局位置 的元胞状态空间随机映射到个体狼最好位置状态 空间，其映射形式为 T : Ω×S X ×S P ×S g → S P (40) TCQWPEA X (t) P(t) t X (t+1) P(t+1) Pg (t+1) t+1 CQWPEA 算法在每次迭代解算过程中产生 一次映射 。设 和 分别为第 次迭代 过程中产生的当前位置的种群和个体最好位置种 群 ， 、 、 分别为第 次迭代 产生的人工狼群位置、个体狼位置以及全局最好 位置，则 P(t+1) = T ( ω,X (t),P(t),Pg (t) ) (41) 式中： t = 0,1,··· ,T −1 ； T 为最大游走次数或迭代次数。 实验表明，CQWPEA 算法中每一代全局最好 解位置的适应度值序列是一个递增序列，即 f ( Pg,t−1 ) ⩽ f ( Pg,t ) ⩽ f ( Pg,t+1 ) (42) Pg,t−1 ∈ P(t−1) Pg,t ∈ P(t) Pg,t+1 ∈ P(t+1) t−1 t t+1 式中： 、 、 分别 表示第 、 、 代的全局最好解位置。 在 CQWPEA 算法中，解算优化问题时，通常 只需关注搜索过程中狼群攻击获得的最好解，不 妨将迭代狼群体用全局最好位置来代替。由此 对 CQWPEA 算法的映射过程进行重新定义，其形 式为 Pg,t+1 = T ( ω,Pg,t ) , Pg,t ∈ P(t), Pg,t+1 ∈ P(t+1) (43) 在 CQWPEA 算法中，解算优化问题的过程可 视为元胞演化空间之间的映射。以下采用随机映 射的方法证明和分析 CQWPEA 算法的收敛性。 定义 6 定义度量 d : S ×S → R ，其中 d 的表达 式为 d ( Pg,i ,Pg, j ) =   c− f ( Pg,i ) − ( c− f ( Pg, j ))   =    f ( Pg,i ) − f ( Pg, j )    (44) c → ∞ Pg,i 式中： ； ,Pg, j ∈ S；(S,d) 为完备可分的度量 空间。 ·722· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷