§21.1泛函的概念 第2页 §21.1泛函的概念 ★泛函,简单地说,就是以整个函数为自变量的函数.这个概念,可以看成是函数概念的 推广 ★所谓函数,是指给定自变量x(定义在某区间内)的任一数值,就有一个y与之对应,y称 为x的函数,记为y=f(x) ★设在x,y平面上有一簇曲线y(x),其长度 +y′2dx. 显然,y(x)不同,L也不同,即L的数值依赖于整个函数y(x)而改变,L和函数v(x)之间 的这种依赖关系,称为泛函关系 类似的例子还可以举出许多,例如,闭合曲线围成的面积,平面曲线绕固定轴 而生成的旋转体体积或表面积,等等.它们也都定了各自的泛函关系 ★设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y(x),有另一个数J与之对应,则称/为y(x)的 这里的函数集合,即泛函的定义域,通常包含要求y(x)满足一定的边界条件,并且具有 连续的二阶导数.这样的y(x)称为可取函数 泛函不同于复合函数,例如g=9(f(x) 对于后者,给定一个x值,仍然是有一个g值与之对应 对于前者,则必须给出某一区间上的函数y(x),才能得到一个泛函值J (定义在同一区间上的)函数不同,泛函值当然不同 为了强调泛函值J与函数y(x)之间的依赖关系,常常又把函数y(x)称为变量函 数 泛函的形式可以是多种多样的,但是,在本书中我们只限于用积分 (x,3,y) 定义的泛函,其中的F是它的宗量的已知函数,具有连续的二阶偏导数 果变量函数是二元函数u(x,y),则泛函为 Ju 其中ux≡au/Ox,uy≡Ou/oy 对于更多个自变量的多元函数,也可以有类似的定义§21.1 泛 函 的 概 念 第 2 页 §21.1 泛 函 的 概 念 F 泛函，简单地说，就是以整个函数为自变量的函数．这个概念，可以看成是函数概念的 推广． F 所谓函数，是指给定自变量x(定义在某区间内)的任一数值，就有一个y与之对应．y称 为x的函数，记为y = f(x)． F 设在x, y平面上有一簇曲线y(x)，其长度 L = Z C ds = Z x1 x0 q 1 + y 02dx. 显然，y(x)不同，L也不同，即L的数值依赖于整个函数y(x)而改变．L和函数y(x)之间 的这种依赖关系，称为泛函关系． 类似的例子还可以举出许多．例如，闭合曲线围成的面积，平面曲线绕固定轴 而生成的旋转体体积或表面积，等等．它们也都定了各自的泛函关系． F 设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y(x)，有另一个数J[y]与之对应，则称J[y]为y(x)的 泛函． 这里的函数集合，即泛函的定义域，通常包含要求y(x) 满足一定的边界条件，并且具有 连续的二阶导数．这样的y(x)称为可取函数． 泛函不同于复合函数，例如g = g(f(x))． 对于后者，给定一个x值，仍然是有一个g值与之对应； 对于前者，则必须给出某一区间上的函数y(x)，才能得到一个泛函值J[y]． (定义在同一区间上的)函数不同，泛函值当然不同． 为了强调泛函值J[y]与函数y(x)之间的依赖关系，常常又把函数y(x)称为变量函 数． 泛函的形式可以是多种多样的，但是，在本书中我们只限于用积分 J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y 0 ) dx 定义的泛函，其中的F是它的宗量的已知函数，具有连续的二阶偏导数． 如果变量函数是二元函数u(x, y)，则泛函为 J[u] = ZZ S F (x, y, u, ux, uy) dxdy, 其中ux ≡ ∂u/∂x, uy ≡ ∂u/∂y． 对于更多个自变量的多元函数，也可以有类似的定义．