从几何上看(图4),对每个n,函数y= nX 1+n2x 在x=-取到最大值,因此 它们的图象不可能落在带状区域{(x,y)10<x<+∞,|y|<ε<}中。事实 上,{S(x)}在任意包含x=0或以x=0为端点的区间上都不是一致收敛的 注若考虑上例中{Sx)}在区间[p,A](0<p<A<+∞)上的一致收 敛性,则由|Sx)-Sx)|=及 1+n3)≤h(1-n2x2) (1+n2x2)2 可以知道当n>1 时 d(Sn, S)= (n→∞), n→∞) n p 这说明{S(x)}在[p,A]上是一致收敛于S(x)=0,也就是说,{S(x)}在包含 于(0,+∞)内的任意闭区间上是一致收敛的,我们称{S(x)}在(0,+∞)内闭一致 收敛。 回忆例6,对Sn(x)=x",{Sx)}在[0,1)上不一致收敛,但在任意的[0, p]c[0,1]上一致收敛,因此称{S(x)(S(x)=x)在[0,1)内闭一致收敛 显然,在区间D上一致收敛的函数序列一定在D内闭一致收敛,但反过来却不 定成立。 例8设S(x)=(1-x)x,则{SA(x)}在[0,1]上收敛于Sx)=0。由 SA(x)-S(x)|=(1-x)x 及 (1-x)xn]'=x"n[n-(n+1)x], 容易知道|Sx)-Sx)在x=-取到最大值,从而 n+1 n+1n+ (一)/(1 →0(n→c) n+1 这就说明{Sx)}在[0,1]一致收敛于S(x)=0. 定理2设函数序列{S(x)}在集合D上点态收敛于S(x),则{S(x)}在D上 致收敛于S(x)的充分必要条件是:对任意数列{xn},xn∈D,成立 lim(Sm(xn)- S(xn))=0 证设{S(x)}在D上一致收敛于S(x),则从几何上看(图 4)，对每个n，函数y = 22 1 n x nx + 在x = n 1 取到最大值，因此 它们的图象不可能落在带状区域{(x，y)│0＜x＜ +∞，│y│＜ε＜ 2 1 }中。事实 上，{Sn(x)}在任意包含x = 0 或以x = 0 为端点的区间上都不是一致收敛的。 注 若考虑上例中{Sn(x)}在区间［ρ，A］(0＜ρ＜A＜ +∞) 上的一致收 敛性，则由│Sn(x) - S(x)│ = 22 1 n x nx + 及 ( 22 1 n x nx + )' = 222 22 )1( )1( xn xnn + − ， 可以知道当 n＞ ρ 1 时， d (Sn，S) = 22 1 ρ+ ρ n n ─→ 0 (n→∞)， 这说明 {Sn(x)}在［ρ，A］上是一致收敛于S(x) = 0，也就是说，{Sn(x)} 在包含 于(0，+∞)内的任意闭区间上是一致收敛的，我们称{Sn(x)}在(0，+∞)内闭一致 收敛。 回忆例 6，对Sn(x) = x n ，{Sn(x)}在［0，1)上不一致收敛，但在任意的［0， ρ］⊂［0，1］上一致收敛，因此称{Sn(x)}(Sn(x) = x n )在［0，1)内闭一致收敛。 显然，在区间D上一致收敛的函数序列一定在D内闭一致收敛，但反过来却不一 定成立。 例 8 设Sn(x) = (1 - x)x n ，则{Sn(x)}在［0，1］上收敛于S(x) = 0。由 │Sn(x) - S(x)│ = (1 - x) x n ， 及 [(1 - x)xn ] ' = x n−1 [n - (n + 1)x］， 容易知道│Sn(x) - S(x)│在x = n +1 n 取到最大值，从而 d (Sn，S) = (1 - n +1 n )( n +1 n ) n = ( n +1 n )／(1 + n 1 ) n → 0 (n→∞)， 这就说明{Sn(x)}在［0，1］一致收敛于S(x) = 0. 定理 2 设函数序列{Sn(x)}在集合D 上点态收敛于S(x)，则{Sn(x)}在D 上 一致收敛于S(x)的充分必要条件是：对任意数列{xn }，xn∈D，成立 (S n ∞→ lim n(xn ) - S(xn )) = 0. 证 设{Sn(x)}在D上一致收敛于S(x)，则