第二章数列极限 习题2.1实数系的连续性 1.(1)证明√6不是有理数 (2)√3+√2是不是有理数? 证(1)反证法。若√6是有理数,则可写成既约分数√6="。由m2=6n2 可知m是偶数,设m=2k,于是有3n2=2k2,从而得到n是偶数,这与 是既约分数矛盾 (2)√3+√不是有理数。若√3+√2是有理数,则可写成既约分数 5+2=m,于是3+26+2=m…,5=m-2,即是有理数,与 (1)的结论矛盾 2.求下列数集的最大数、最小数,或证明它们不存在 A={x|x≥0}; B=sin xo<x< C={"|m,n∈N并且n<m}。 解minA=0;因为vx∈A,有x+l∈A,x+1>x,所以maxA不存在。 mN8=s2=1;因为vxeB,3a∈(2,使得x=sma,于是有 ∈B,sin女<x,所以minB不存在第二章 数列极限 习 题 2.1 实数系的连续性 1. (1) 证明 6不是有理数； (2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 n m 6 = 。由 ， 可知 是偶数，设 ，于是有 ，从而得到 是偶数，这与 2 2 m = 6n m m = 2k 2 2 3n = 2k n n m 是既约分数矛盾。 （2） 3 + 2 不是有理数。若 3 + 2 是有理数，则可写成既约分数 3 2 + n m = ，于是 2 2 3 2 6 2 n m + + = ， 2 5 2 6 2 2 = − n m ，即 6 是有理数，与 （1）的结论矛盾。 2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： A x = { | x ≥ 0}； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = < < 3 2 sin | 0 π B x x ； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∈ < + m n n m m n C , N 并且 。 解 min A = 0；因为∀x ∈ A，有 x +1∈ A， x +1 > x，所以max A不存在。 1 2 max = sin = π B ；因为∀x ∈ B ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ∃ ∈ 2 0, π α ，使得 x = sinα ，于是有 ∈ B 2 sin α ， < x 2 sin α ，所以min B不存在。 9