证:记c=a4+b1,则∑(a4+b)=∑ac+∑bc ∑(a)(e)+∑(b say△e)h+by∑e?)h y+①ya+y了 再注意到11p-1 即证 10、设a,a2…n是互不相同的正整数,则:∑2k ):1(号)签月), 个不等式是因为诸a各不相同,故可设a≥k 11设f(x)在a,b]连续,o(x)是(-∞,+∞)上的凸函数,则 b_aJo(r)dx 2p(/(xdr 证:在不等式ba2(5)=2b0((5)20b()两边 令=max{△x;}→0(n→>∞)取极限即证 12、设f(x)在(a,b)连续,则x)是凸函数的充要条件是:对任意含于(a,b)的闭区间 x,x+h,都有f(x)≤,f(x+)dh 证:(必要性)V≤h,(x)≤(f(x-t)+f(x+),故 2hf(x)≤|f(x-1)+f(x+)d=|f(x+t)lt。24 24 证：记 1 1 , ( ) − − = +  + =  + p k k p k k p k k k k k c a b 则： a b a c b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   p p p k k p p k p p k p p p k p p k p p p k p p k p p p k p p k p p p k p p k a b a b a c b c a c b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − −          +     = +  + = + 再注意到 p p p 1 1 1 − − = 即证。 10、设 a a an , , , 1 2  是互不相同的正整数，则：   = =  n k n k k k k a 1 1 2 1 。 证： 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n k k k k k k k k k k k a a a = = = = = = k k k a k k a                   =                          ，最后一 个不等式是因为诸 k a 各不相同，故可设 a k k  。 11、设 f（x）在[a，b]连续， (x)是（−，+ ） 上的凸函数，则：   −  − b a b a f x dx b a f x dx b a ( ) ) 1 ( ( )) ( 1   。 证：在不等式 ( ( )) ( ( )) ( ( )) 1 1 i i i i i n i i f b a x f b a x f x b a         −   −   = − = 两边 令 = max{x }→ 0 (n → )  i 取极限即证。 12、设 f(x)在(a ,b)连续，则 f(x)是凸函数的充要条件是：对任意含于(a ,b)的闭区间 [x-h，x+h]，都有  −  + h h f x t dt h f x ( ) 2 1 ( ) 。 证：（必要性）  t  h ，f(x)  2 1 ( f(x-t) + f(x+t))，故 2 h f(x)  2 1  − − + + h h f (x t) f (x t)dt ＝  − + h h f (x t)dt