·366· 智能系统学报 第12卷 (x)r=maxhe(x),he(x),a=minrEhg(x)Uhe(x) 性质2设E∈HFS(X),a∈[0,1]，E的a-截 r≥a}≤max{min{r∈he(x)|r≥a},min{r∈hr(x) 集可分解为 r≥a}=maxug(x),ue.(x)}=uE.ur.（x)。 E。=A(E.)=A(E.)4 Ae[0,1] Ae[0,1) ③当max{hE(x),h(x)}≥a>min{hE(x),h 其中，(E.)={xg,(x)≥A}和(E.)={xE.（x)> (x)}时，不妨设hE(x)<a≤h(x),则(un.(x)= A}均为X上的精确集。 minrhg(x)Uhe(x)rh(x)=h(x), 定理1(HS的分解定理I)设E∈HFS(X),则 ug.（x)=minr∈he(x)|r≥a≥a,ue.(x)=min{r∈ E=E.la e[.1](E.),lae [o.1= hr(x)lr≥h(x)}=h(x)≥a;故u(ur.(x)= {.Uλ(E.)ala∈[0,1]}。 Ae[0,1) hr(x)≤max{E.（x),r.(x)}=ug.ur（x)o 这意味者，xeX,有he(x)=μE.(x)川a∈[0,1}= ④当min{hE(x),h(x)}≥a时，也可类似证明 {&入X)le[0,卡&，AXex)la∈ Ae0,1】 u(EuP.（x)=max{E.（x),r.（x)}=E.ur.（x)。 [0,1]}。 归纳可知，(EUF).SE.UF.。 定理2(HFS的分解定理)设Ee HFS(X),则 用类似的方法可以得到结论3)的其余情况和 E={E.|a∈[0，l)}={VA(E.)a|a∈[0,1)}= 结论4)。 Ae[0,1) ⑤这里仅证明结论5)中UE。=E。成立，其余 1hnAE4ae[o.i。 证明定理1和定理2的证明可以由定义9和 情况类似证明。 T1FS的分解定理直接得到。 Hx∈X,t∈T,因为V{a,}<A{ht(x)},所以 例3在例2的前提下，当0≤α≤0.2时，有 g.(x)=min{r∈he(x)lr≥a,},ug,(x)=min{r∈ {(x1,A),(x2,入)}，0≤A≤0.2 he(x)lr≥Va}。 入(Ea)={(x1,0),(x2,入)}，0.2<A≤0.3 设c=us(x),则c=min{r∈he(x)r≥a,{, {(x1,0),(x2,0)},0.3<入≤1 故Ht∈T,c≥min{r∈he(x)|r≥a,},从而c≥Vmin {(x1,A),(x2,A)},0≤入<0.2 1 1rehe()r≥a=u,g),故E2UFs。 入(E.)1=1(x1,0),(x2,)},02≤入<0.3 设d=g（x)=出min(x)r≥a,则 {(x1,0),(x2,0)},0.3≤入<1 Vt∈T,d≥min{rehe(x)lr≥a,}。 故，入(Ea)=入(Ea)={(x1,0.2),(x2, Ael0,I Ae[0,1) 若令r,=min{rehe(x)lr≥a,},则t∈T,d≥ 0.3)}=E.o r,≥a,故d≥，≥Ya,。因为h(x)是有限集，，∈ 类似地，对α取其余值的情况也可得到同样结 论，因此E={E.a∈[0,1]}。 h:(x)。所以必存在o∈T,使得o≥a,故 d≥ro≥min{rehe(x)lr≥，a,l,从而E,CUE 4犹豫模糊集的扩展原则 因此E。=E。 Toa等人[曾介绍了HFS的扩展原理。 ⑥这里仅证明结论6)中(E.)C=(E)1“成立， 定义100令日：[0,1]”→[0,1]为一个函数， 其余类似。 H为论域X上的n个犹豫模糊集，记为H={h, 因为a<A{h(x)},所以{r∈he(x)lr≥a}≠ h2,…,hn},则⊙在H上的扩展定义如下： ,故hac(x)=1-4.（x)=1-min{r∈he(x) Hx∈X |r≥a}=max{l-rlr∈he(x),r≥a}=max{r'∈he ⊙(x)= U {Θ(r)} rch()xh2(x)x...xha(x) (x)|r'≤1-a}=(so1.(x)。 显然这个定义仅仅是清晰集中运算的扩展，而 考虑到a-上截集与a-下截集的对称性，在下面 不是一般HFS函数的扩展。本文依据Zadeh提出 的讨论中，只讨论a-上截集，并称其为E的α截集。 的T1FS的扩展原则，提出如下的HFS的扩展原则。 定义11(HFS的扩展原则I)设E∈ 3犹豫模糊集的分解（表示）定理 HFS(X),F∈HFS(Y),若f:X→Y,则可以定义一个 由于HFS的a-截集是T1FS,根据T1FS的分解 从HFS(X)到HFS(Y)的犹豫模糊函数，满足 定理可得： hg:Y→P([0,1])（ｘ） ｒ≥ｍａｘ｛ｈ － Ｅ（ｘ），ｈ － Ｆ（ｘ），α｝｝ ＝ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ）∪ｈＦ（ｘ） ｒ≥α｝≤ｍａｘ｛ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥α｝，ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＦ（ｘ） ｒ≥α｝｝ ＝ｍａｘ｛μＥα （ｘ）， μＦα （ｘ）｝ ＝ μＥα∪Ｆα （ｘ）。 ③当 ｍａｘ｛ ｈ － Ｅ（ ｘ），ｈ － Ｆ（ ｘ）｝≥α ＞ｍｉｎ｛ ｈ － Ｅ（ ｘ），ｈ － Ｆ （ｘ）｝时，不妨设 ｈ － Ｅ（ｘ） ＜α≤ｈ － Ｆ（ｘ），则 μ（Ｅ∪Ｆ） α （ ｘ） ＝ ｍｉｎ ｛ ｒ ∈ ｈＥ （ ｘ ） ∪ ｈＦ （ ｘ ） ｒ≥ｈ － Ｆ （ ｘ ）｝ ＝ ｈ － Ｆ （ ｘ ）， μＥα （ｘ）＝ ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥α｝≥α，μＦα （ｘ）＝ ｍｉｎ｛ｒ∈ ｈＦ（ ｘ） ｒ≥ｈ － Ｆ （ ｘ）｝ ＝ ｈ － Ｆ （ ｘ） ≥ α； 故 μ（Ｅ∪Ｆ） α （ ｘ） ＝ ｈ － Ｆ（ｘ）≤ｍａｘ｛μＥα （ｘ），μＦα （ｘ）｝ ＝ μＥα∪Ｆα （ｘ）。 ④当 ｍｉｎ｛ｈ － Ｅ（ｘ），ｈ － Ｆ（ｘ）｝≥α 时，也可类似证明 μ（Ｅ∪Ｆ） α （ｘ）＝ ｍａｘ｛μＥα （ｘ），μＦα （ｘ）｝ ＝ μＥα∪Ｆα （ｘ）。 归纳可知，（Ｅ∪Ｆ） α⊆Ｅα∪Ｆα 。 用类似的方法可以得到结论 ３）的其余情况和 结论 ４）。 ⑤这里仅证明结论 ５）中∪ｔ∈Ｔ Ｅαｔ ＝ Ｅｂ 成立，其余 情况类似证明。 ∀ｘ∈Ｘ，ｔ∈Ｔ，因为∨ｔ∈Ｔ ｛αｔ｝ ＜ ∧ｘ∈Ｘ ｛ ｈ ＋ Ｅ（ ｘ）｝，所以 μＥα ｔ （ｘ）＝ ｍｉｎ｛ ｒ∈ｈＥ（ ｘ） ｒ≥αｔ ｝，μＥｂ （ ｘ） ＝ ｍｉｎ｛ ｒ∈ ｈＥ（ｘ） ｒ≥∨ｔ∈Ｔ αｔ｝。 设 ｃ ＝ μＥｂ （ｘ），则 ｃ ＝ ｍｉｎ｛ ｒ∈ｈＥ （ｘ） ｒ≥∨ｔ∈Ｔ αｔ ｝， 故∀ｔ∈Ｔ，ｃ≥ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥αｔ｝，从而 ｃ≥∨ｔ∈Ｔ ｍｉｎ ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥αｔ｝ ＝ μ ∪ ｔ∈Ｔ Ｅα ｔ （ｘ），故 Ｅｂ⊇∪ｔ∈Ｔ Ｅαｔ 。 设 ｄ ＝ μ ∪ ｔ∈Ｔ Ｅα ｔ （ｘ） ＝ ∨ｔ∈Ｔ ｍｉｎ｛ ｒ∈ｈＥ（ ｘ） ｒ≥αｔ ｝，则 ∀ｔ∈Ｔ，ｄ≥ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥αｔ｝。 若令 ｒｔ ＝ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ ｘ） ｒ≥αｔ｝，则∀ｔ∈Ｔ，ｄ≥ ｒｔ≥αｔ，故 ｄ≥∨ｔ∈Ｔ ｒｔ≥∨ｔ∈Ｔ αｔ。 因为 ｈＥ（ｘ）是有限集，ｒｔ∈ ｈＥ（ｘ）。 所以必存在 ｔ ０∈Ｔ，使得 ｒｔ０ ＝ ∨ｔ∈Ｔ ｒｔ≥∨ｔ∈Ｔ αｔ，故 ｄ≥ｒｔ０≥ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥∨ｔ∈Ｔ αｔ｝，从而 Ｅｂ⊆∪ｔ∈Ｔ Ｅαｔ 。 因此∪ｔ∈Ｔ Ｅαｔ ＝Ｅｂ。 ⑥这里仅证明结论 ６）中（Ｅα ） Ｃ ＝ （Ｅ Ｃ ） １－α成立， 其余类似。 因为 α＜∧ｘ∈Ｘ ｛ｈ ＋ Ｅ（ ｘ）｝，所以｛ ｒ∈ｈＥ（ ｘ） ｒ≥α｝≠ ⌀，故 μ（Ｅα ） Ｃ （ ｘ） ＝ １ － μＥα （ ｘ） ＝ １ － ｍｉｎ ｛ ｒ ∈ ｈＥ （ ｘ） ｒ≥α｝ ＝ ｍａｘ｛１－ｒ ｒ∈ｈＥ（ｘ），ｒ≥α｝ ＝ ｍａｘ｛ ｒ′∈ｈＥＣ （ｘ） ｒ′≤１－α｝ ＝ μ（ＥＣ） １－α（ｘ）。 考虑到 α⁃上截集与 α⁃下截集的对称性，在下面 的讨论中，只讨论 α⁃上截集，并称其为 Ｅ 的 α⁃截集。 ３ 犹豫模糊集的分解（表示）定理 由于 ＨＦＳ 的 α⁃截集是 Ｔ１ＦＳ，根据 Ｔ１ＦＳ 的分解 定理可得： 性质 ２ 设 Ｅ∈ＨＦＳ（Ｘ），α∈［０，１］，Ｅ 的 α⁃截 集可分解为 Ｅα ＝ ∪λ∈［０，１］ λ （Ｅα ） λ ＝ ∪λ∈［０，１） λ （Ｅα ） λ 其中，（Ｅα）λ ＝ ｛ｘ μＥα （ｘ）≥λ｝和（Ｅα）λ ＝ ｛ｘ μＥα （ｘ） ＞ λ｝均为 Ｘ 上的精确集。 定理 １ （ＨＦＳ 的分解定理Ⅰ） 设 Ｅ∈ＨＦＳ（Ｘ），则 Ｅ ＝ ｛Ｅα α ∈［０，１］｝ ＝ ｛ ∪λ∈［０，１］ λ（Ｅα）λ α ∈［０，１］｝ ＝ ｛ ∪λ∈［０，１） λ（Ｅα）λ α ∈［０，１］｝。 这意味着，∀ｘ∈Ｘ，有ｈＥ（ｘ）＝｛μＥα （ｘ） α ∈［０，１］｝ ＝ ｛ ∨λ∈［０，１］ λ·χ （Ｅα ）λ （ｘ） α ∈［０，１］｝＝｛ ∨λ∈［０，１） λ·χ （Ｅα ）λ （ｘ） α ∈ ［０，１］｝。 定理 ２ （ＨＦＳ 的分解定理Ⅱ） 设 Ｅ∈ＨＦＳ（Ｘ），则 Ｅ ＝ ｛Ｅα α ∈［０，１）｝ ＝ ｛ ∪λ∈［０，１） λ（Ｅα）λ α ∈［０，１）｝ ＝ ｛ ∪λ∈［０，１］ λ（Ｅα）λ α ∈［０，１）｝。 证明 定理 １ 和定理 ２ 的证明可以由定义 ９ 和 Ｔ１ＦＳ 的分解定理直接得到。 例 ３ 在例 ２ 的前提下，当 ０≤α≤０．２ 时，有 λ （Ｅα ） λ ＝ ｛（ｘ１ ，λ），（ｘ２ ，λ）｝， ０ ≤ λ ≤ ０．２ ｛（ｘ１ ，０），（ｘ２ ，λ）｝， ０．２ ＜ λ ≤ ０．３ ｛（ｘ１ ，０），（ｘ２ ，０）｝， ０．３ ＜ λ ≤ １ ì î í ï ï ï ï λ （Ｅα ） λ ＝ ｛（ｘ１ ，λ），（ｘ２ ，λ）｝， ０ ≤ λ ＜ ０．２ ｛（ｘ１ ，０），（ｘ２ ，λ）｝， ０．２ ≤ λ ＜ ０．３ ｛（ｘ１ ，０），（ｘ２ ，０）｝， ０．３ ≤ λ ＜ １ ì î í ï ï ï ï 故 ∪λ∈［０，１］ λ （Ｅα ） λ ＝ ∪λ∈［０，１） λ （Ｅα ） λ ＝ ｛（ ｘ１ ，０．２），（ ｘ２ ， ０．３）｝ ＝Ｅα 。 类似地，对 α 取其余值的情况也可得到同样结 论，因此 Ｅ ＝ ｛Ｅα α∈［０，１］｝。 ４ 犹豫模糊集的扩展原则 Ｔｏｒｒａ 等人［１］曾介绍了 ＨＦＳ 的扩展原理。 定义 １０ ［１］ 令 Θ：［０，１］ ｎ→［０，１］为一个函数， Ｈ 为论域 Ｘ 上的 ｎ 个犹豫模糊集，记为 Ｈ ＝ ｛ ｈ１ ， ｈ２ ，…，ｈｎ ｝，则 Θ 在 Ｈ 上的扩展定义如下： ∀ｘ ∈ Ｘ ΘＨ（ｘ） ＝ ∪ ｒ∈ｈ１ （ｘ） ×ｈ２ （ｘ） ×…×ｈｎ （ｘ） ｛Θ（ｒ）｝ 显然这个定义仅仅是清晰集中运算的扩展，而 不是一般 ＨＦＳ 函数的扩展。 本文依据 Ｚａｄｅｈ 提出 的 Ｔ１ＦＳ 的扩展原则，提出如下的 ＨＦＳ 的扩展原则。 定 义 １１ （ ＨＦＳ 的 扩 展 原 则 Ｉ ） 设 Ｅ ∈ ＨＦＳ（Ｘ），Ｆ∈ＨＦＳ（Ｙ），若 ｆ：Ｘ→Ｙ，则可以定义一个 从 ＨＦＳ（Ｘ）到 ＨＦＳ（Ｙ）的犹豫模糊函数，满足 ｈｆ（Ｅ） ：Ｙ → Ｐ（［０，１］） ·３６６· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷