令a1=k1,又存在k2=0或1,使得 k1,k2+1 +<x≤+ 令a2=k2这样一直作下去,得到一个数列{an},其中an=0或1.并且容易知道有无 穷个an=1.显然由这样的数列{an}构成的级数(1)的部分和Sn满足 x-s< 令n→∞得到x= lim s,即x是级数(1)的和于是x可以唯一地表示成无限二进制小 数x=0a1a2…a 二元数列若{an}为一数列,并且每个an只取0或1两个可能的值,则称{an}为 元数列 定理11(i)二元数列的全体所成的集具有连续基数c (i)设X为一可数集,则由X的全体子集所成的集刃(X)具有连续基数c 证明(i).将二元数列的全体所成的集记为A,无限二进制小数的全体记为E.则由 引理10,E=(0,1=c.对每个自然数n≥1,令 Bn={( 再令B=∪Bn则B是可数个有限集的并,由定理4,B是可数集。作映射 f∫:A-B→E,使得 f(a1,a2,…)=0.a1a 则∫是一一的到上的,故A-B~E.因此A-B=E=C.由定理8知道 =A-B=c (i).设X={x1,x2,…,xn,….作?(X)到二元数列的集A的映射q,使得 p(C)=(a1,a2…),C∈(X) 若xn∈C, 其中 0若xngC 则q是一一的到上的.故(X)~A,因此刃(X)=A=c■20 令 . 1 1 a = k 又存在 0 k2 = 或 1, 使得 . 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 + + < ≤ + k k x k k 令 . 2 2 a = k 这样一直作下去, 得到一个数列{ }, n a 其中 = 0或1. n a 并且容易知道有无 穷个 = 1. n a 显然由这样的数列{ }n a 构成的级数(1)的部分和 n s 满足 , 1. 2 1 0 < x − s < n ≥ n n 令 n → ∞ 得到 lim . n n x s →∞ = 即 x 是级数(1)的和. 于是 x 可以唯一地表示成无限二进制小 数 0. . x = a1a2 Lan L 二元数列 若{ }n a 为一数列, 并且每个 n a 只取 0 或 1 两个可能的值, 则称{ }n a 为二 元数列. 定理 11 (i).二元数列的全体所成的集具有连续基数c. (ii).设 X 为一可数集, 则由 X 的全体子集所成的集P (X ) 具有连续基数c. 证明 (i).将二元数列的全体所成的集记为 A, 无限二进制小数的全体记为 E. 则由 引理 10, E = (0,1] = c. 对每个自然数 n ≥ 1, 令 {( , , ) : 0, }. 1 2 B a a A a i n n = L ∈ i = > 再 令 . 1 U ∞ = = n B Bn 则 B 是可数个有限集的并 . 由定理 4, B 是可数集 . 作映射 f : A − B → E, 使得 (( , , )) 0. . f a1 a2 L = a1a2 L 则 f 是一一的到上的 , 故 A − B ~ E. 因 此 A − B = E = c. 由定理 8 知 道 , A = A − B = c. (ii).设 { , , , , }. X = x1 x2 L xn L 作P (X ) 到二元数列的集 A 的映射ϕ ,使得 ( ) ( , , ), ϕ C = a1 a2 L C ∈P (X ). 其中    ∉ ∈ = 0 . 1 , x C x C a n n n 若 若 则ϕ 是一一的到上的. 故P (X ) ~ A , 因此P (X ) = A = c