16章错误检测和校正 下面以一个较简单例子说明域的构造。 [例16.1构造GF(2)域的本原多项式P(x)假定为 P(x)=x3+x+1 a定义为P(x)=0的根,即 和 GF(2)中的元素可计算如下 mod(a+a+1) mod(a2+a+1)=a0=1 mod (a+a+1) mod(a3+a+1)=a+1 od(a23+a+1) mod(a2+a+1)=a2+a2+1 mod( a mod(a+a +1)=a (a2+a+1) 用二进制数表示域元素得到表16-01所示的对照表 表16-01GF(2)域中与二进制代码对照表,P(x)=x3+x+1 GF(2)域元素 二进制对代码 aaa (10 (01 0 (010 (110) aaa (111) 这样一来就建立了GF(2)域中的元素与3位二进制数之间的一一对应关系。用同样的方 法可建立GF(②2)域中的256个元素与8位二进制数之间的一一对应关系。在纠错编码运算过程 中,加、减、乘和除的运算是在伽罗华域中进行。现仍以GF(2)域中运算为例 加法例:a°+a3=001+011 010 减法例:与加法相同 乘法例:a5·a4=a6+0mn 除法例:a5/a3=a2 (-2+7) 取对数:1og(a5)=5 这些运算的结果仍然在GF(2)域中第16章 错误检测和校正 4 下面以一个较简单例子说明域的构造。 [例16.1] 构造GF(23 )域的本原多项式 P(x) 假定为 ( ) 1 3 P x = x + x + α定义为 P(x) = 0的根，即 α3＋α＋1 = 0 和 α3 = α＋1 GF(23 )中的元素可计算如下： 0 mod(α3＋α＋1) = 0 α 0 mod(α 3＋α＋1) = α 0 = 1 α1 mod(α3＋α＋1) = α1 α 2 mod(α 3＋α＋1) = α 2 α3 mod(α3＋α＋1) = α＋1 α 4 mod(α 3＋α＋1) = α 2＋α α5 mod(α3＋α＋1) = α2＋α1＋1 α 6 mod(α 3＋α＋1) = α 2＋1 α7 mod(α3＋α＋1) = α0 α 8 mod(α 3＋α＋1) = α 1 …… 用二进制数表示域元素得到表16-01所示的对照表 表16-01 GF(23 )域中与二进制代码对照表, ( ) 1 3 P x = x + x + GF(23 )域元素 二进制对代码 0 (000) α0 (001) α 1 (010) α2 (100) α 3 (011) α4 (110) α5 (111) α6 (101) 这样一来就建立了GF(23 )域中的元素与3位二进制数之间的一一对应关系。用同样的方 法可建立GF(28 )域中的256个元素与8位二进制数之间的一一对应关系。在纠错编码运算过程 中，加、减、乘和除的运算是在伽罗华域中进行。现仍以GF(23 )域中运算为例： 加法例：α0＋α3 = 001＋011 = 010 = α1 减法例：与加法相同 乘法例：α5·α4 = α (5＋4) mod7 = α 2 除法例：α5 /α 3 = α 2 α 3 /α 5 = α －2 = α (－2＋7) = α5 取对数：log(α 5 ) = 5 这些运算的结果仍然在GF(23 )域中