2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 间的任意实数A,都存在x∈(a,b),使得∫(x0)=A。 例证明介值定理 证:思路是创造应用零点定理的条件 令F(x)=∫(x)-A,则F(x)在闭区间{a,b上连续,只需证明F(x)至少有一个零点 x0∈(a,b)。不妨假设∫(b)>∫(a),则∫(b)>A>f(a),因此 F(a)=f(a)-A<0,且F(b)=∫(b)-A>0, 于是F(b)·F(a)<0,由零点定理,F(x)至少有一个零点x∈(a,b),所以 F(x0)=f(x0)-A=0,即f(x0)=A 例2.1极限lim(√2x2+x-√2x2+1)= (A) (B) (C) (D)不存在 解:Iim(√2x2+x-√2x2+1)=lim x-1 √2x2+x+√2x2+1 im √2 2+-+,2+ lim( 2x +x-v2x+1)=lim 2x2+x+√2x2+1 lim 因此该极限不存在,因此选(D) x→+ 2√2 2+ 例2.2求极限m2++sx 1+e 解:错误做法举例 2+e 2+e 2e x+e 2+ex 2, li li =0,因此lim 不存 1+e 1+ex 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 间的任意实数 A ，都存在 x0 ∈ (a, b) ，使得 f (x0 ) = A 。 例 证明介值定理。 证：思路是创造应用零点定理的条件。 令 ，则 在闭区间 上连续，只需证明 至少有一个零点 。不妨假设 ，则 ，因此 F(x) = f (x) − A F(x) [a, b] F(x) x ∈ (a, b) 0 f (b) > f (a) f (b) > A > f (a) F(a) = f (a) − A < 0 ，且 F(b) = f (b) − A > 0， 于是 F(b)⋅ F(a) < 0 ，由零点定理， F(x)至少有一个零点 x ∈ (a, b) 0 ，所以 F(x0 ) = f (x0 ) − A = 0 ，即 f (x0 ) = A 。 例 2．1 极限 + − + = →∞ lim( 2 2 1) 2 2 x x x x （A） 2 2 1 ; （B） 2 1 ; （C） 2 2 −1 ; （D）不存在 解： lim ( 2 2 1) 2 2 + − + → +∞ x x x x 2 2 1 1 2 2 + + + − = →+∞ x x x x x lim 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 = + + + − = →+∞ x x x x lim lim ( 2 2 1) 2 2 + − + →−∞ x x x x 2 2 1 1 2 2 + + + − = →−∞ x x x x x lim 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 = − − + − + − = → +∞ x x x x lim ，因此该极限不存在，因此选(D)。 例 2．2 求极限 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + → | | sin lim x x e e x x x 4 1 0 1 2 解：错误做法举例 2 1 2 4 1 0 = + + → − x x x e e lim ， 0 1 2 1 2 4 4 3 0 4 1 0 = + + = + + − − − → + → + x x x x x x x e e e e e lim lim ，因此 x x x e e 4 1 0 1 2 + + → lim 不存在。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 10 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785