第二学期第三次课 第六章带度量的线性空间 §1欧几里得空间 设f是实线性空间V上的一个正定、对称的双线性函数,则 Va,B∈V,(a,B):=f(a,B)称为向量a与B的内积:具有内积的实线性空间称为欧几里 得空间(简称欧氏空间) 对任意a∈V,定义 x=√a,a) 为向量a的长度或模.|a=1时,称a为单位向量 命题1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式)对欧氏空间V内任意两个向量a,B,有 (a,B)图a|·|B 证明(a+tB,a+tB)≥0对任意t∈R成立,而 (a+t B, a+t B)=(B, B)t+2t(a, B)+(a, a) △=4(a,B)2-4(a,aB,B)≤0,故|ax,B)图a|-|B 由命题1.1可定义二向量a与B的夹角<a,B> <a, B>=arccos la BI 如果(a,B)=0,则称a与B正交 设E1,E2…,En是n维欧氏空间V的一组基.令 (1,1)(E1,E2) G E1)(E2,E2)…(E2,En) (En,E)(E,E,)..(En, E,) 称G为内积(a,B)在基E,E2…,En下的度量矩阵 G是实正定二次型在这组基下的矩阵,一定是实对称矩阵,并且是正定的 命题1.2设欧氏空间V内s个非零向量a1,a2,…a、两两正交,则它们线性无关 证明假如第二学期第三次课 第六章 带度量的线性空间 §1 欧几里得空间 设 f 是 实 线 性 空 间 V 上 的 一 个 正 定 、 对 称 的 双 线 性 函 数 , 则 ,  V, ( ,  ):= f (,  ) 称为向量 与 的内积；具有内积的实线性空间称为欧几里 得空间（简称欧氏空间）； 对任意  V, 定义 | |= (,) 为向量  的长度或模.| |=1 时,称  为单位向量. 命题 1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式) 对欧氏空间 V 内任意两个向量 ,  ,有 | (,  )|| | |  | 证明 (  +t  , +t  )  0 对任意 t  R 成立,而 (  +t  , +t  )=(  ,  )t 2 +2t( ,  )+ (,) 4( , ) 4( , )( , ) 0 2  =   −      ,故 | (,  )|| | |  | 由命题 1.1 可定义二向量 与 的夹角< ,  > < ,  >= | | | | ( , ) arccos      如果( ,  )=0,则称 与 正交. 设 1 2 n  ， ，， 是 n 维欧氏空间 V 的一组基.令               = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n G                         称 G 为内积( ,  )在基 1 2 n  ， ，， 下的度量矩阵. G 是实正定二次型在这组基下的矩阵,一定是实对称矩阵,并且是正定的. 命题 1.2 设欧氏空间 V 内 s 个非零向量 1 2 s  , ,  , 两两正交,则它们线性无关. 证明 假如