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.870 北京科技大学学报 第29卷 值，limS,=c1 网络就能达到优良的逼近效果 (4满足固结度条件：U=S二0=01，-0，当 2.1小波及小波变换 Soo-S0 称满足条件 t取0时，固结度为0 ()Plal-da<+o (5) 改进泊松模型与泊松曲线模型、Verhulst模型 一样，可以描述事物的发生、发展、成熟并到一极限 的平方可积函数9(t)∈L2(R)为基本小波或母小 的过程(S型曲线)，并能更好地描述几何上的凸、凹 波.其中P(w)为9（ω）的Fourier变换.令： 及$型等多种变化曲线，符合荷载逐步增加到稳定， -a后 1 (6) 地基沉降逐步发生并趋于稳定的过程，如图1所 示，当参数变化时，式(1)所示的改进泊松模型拟合 其中，a、b为实数，且a≠0.将Pb(t)称为由母小 S型曲线具有很强的适用性 波P生成的依赖于参数α、b的连续小波，也称为小 波基 c-28.8970 设非线性时间序列变化函数f(t)∈L2(R),定 c2=114.0986 -10 c1=0.02 c0.9584 义其小波变换为： c1=0.04 -15 .06 d 204 c=0.08 -25 (7) c-0.10 3 0 100 200 300400500 600 由时间序列特点，变换仅限实数域讨论，由上 时间d 式可见，小波基中参数b变化起着平移作用，参数α 的变化不仅改变小波基的频谱结构，而且改变其窗 图1c3参数变化时改进泊松模型曲线变化 口的大小与形状，因此a、b分别称为9.(t)的伸缩 Fig.I Curves of modified Poisson model varying with parameter 因子和平移因子，对于函数f(t),其局部结构的分 辨可以通过调节参数α、b,即调节小波基窗口的大 2 改进泊松一复合小波神经网络修正 小和位置来实现.与Fourier分析类似，基于小波变 模型 换的小波分析同样是将信号函数分解成小波标准正 交基，以此构成级数来逼近信号函数，不同的是小 应用改进的泊松模型预测复合地基全过程沉降 波基是通过平移和伸缩构成的，具有良好的局部化 可以达到很高的精度，但仍存在一定的误差，因此式 性质，依据小波理论达到最佳的函数逼近能力· (2)可以写成如下形式： 目前常用的母小波有Haar小波、Shannon小 S,= 十E (4) 波、墨西哥帽小波、样条小波和Morlet小波等，这些 1十c2e 函数其伸缩和平移可以构成L(R)的标准正交基， 式中，e为误差修正项，表示由于观测误差、模型与 使其生成的小波级数可以最佳逼近， 实际情况的偏差等因素引起的误差 基本小波类型一般针对具体问题进行选择，如 为进一步提高模型的预测精度，本文采用复合 对跳变较多的信号，Haar一Valsh基比较适用；对由 小波神经网络对模型进行了修正，小波神经网络 分段多项式结构组成的信号，Daubechies小波比较 (wavelet neural network)是近几年国际上新兴的一 适用；如果信号含正弦分量或高频振荡，则局部三角 种数学建模分析方法，是结合小波变换与人工神经 函数基比较合适， 网络的思想而形成的，已经开始有效地应用于信号 2.2复合小波神经网络修正模型 处理、数据压缩、故障诊断等众多领域，它是通过对 复合小波神经网络是基于小波分析而构成的具 小波分解进行平移和伸缩变换后而得到的级数，具 有神经网络思想的模型，即用非线性小波基取代了 有小波分解的一般逼近函数的性质。并且，由于它 通常的非线性Sigmoid函数.把非线性时间序列表 引入了两个新的参变量，即伸缩因子和平移因子，所 述通过用所选取的非线性小波基进行线性叠加来实 以小波神经网络具有比小波分解更多的自由度.从 现，也就是用小波级数的有限项来逼近时间序列函 而使其具有更灵活有效的函数逼近能力，经过筛选 数.实际上，用小波基P(t)拟合时间序列s(t)的 恰当的各个参数，通过较少级数项组成的小波神经 过程就是信号分解过程，即希望把待分析信号s(t)值limt→∞ St＝c1； （4） 满足固结度条件：U＝ St－S0 S∞－S0 ＝0｜t＝0当 t 取0时固结度为0． 改进泊松模型与泊松曲线模型、Verhulst 模型 一样可以描述事物的发生、发展、成熟并到一极限 的过程（S 型曲线）并能更好地描述几何上的凸、凹 及 S 型等多种变化曲线符合荷载逐步增加到稳定 地基沉降逐步发生并趋于稳定的过程．如图1所 示当参数变化时式（1）所示的改进泊松模型拟合 S 型曲线具有很强的适用性． 图1 c3 参数变化时改进泊松模型曲线变化 Fig．1 Curves of modified Poisson model varying with parameter c3 2 改进泊松－复合小波神经网络修正 模型 应用改进的泊松模型预测复合地基全过程沉降 可以达到很高的精度但仍存在一定的误差因此式 （2）可以写成如下形式： St＝ c1 1＋c2e －c3 t c4＋ε （4） 式中ε为误差修正项表示由于观测误差、模型与 实际情况的偏差等因素引起的误差． 为进一步提高模型的预测精度本文采用复合 小波神经网络对模型进行了修正．小波神经网络 （wavelet neural network）是近几年国际上新兴的一 种数学建模分析方法是结合小波变换与人工神经 网络的思想而形成的．已经开始有效地应用于信号 处理、数据压缩、故障诊断等众多领域．它是通过对 小波分解进行平移和伸缩变换后而得到的级数具 有小波分解的一般逼近函数的性质．并且由于它 引入了两个新的参变量即伸缩因子和平移因子所 以小波神经网络具有比小波分解更多的自由度．从 而使其具有更灵活有效的函数逼近能力经过筛选 恰当的各个参数通过较少级数项组成的小波神经 网络就能达到优良的逼近效果． 2∙1 小波及小波变换 称满足条件 ∫ ＋∞ －∞ ｜φ＾（ω）｜2｜ω｜－1dω＜＋∞ （5） 的平方可积函数 φ（ t）∈L 2（R）为基本小波或母小 波．其中 φ＾（ω）为 φ（ω）的 Fourier 变换．令： φab（ t）＝ 1 ｜a｜ φ t－b a （6） 其中a、b 为实数且 a≠0．将 φab（ t）称为由母小 波 φ生成的依赖于参数 a、b 的连续小波也称为小 波基． 设非线性时间序列变化函数 f （ t）∈L 2（R）定 义其小波变换为： Wf （ ab）＝〈fφab〉＝ 1 ｜a｜∫ ＋∞ －∞ f （ t）φ t－b a d t （7） 由时间序列特点变换仅限实数域讨论．由上 式可见小波基中参数 b 变化起着平移作用参数 a 的变化不仅改变小波基的频谱结构而且改变其窗 口的大小与形状因此 a、b 分别称为φab（ t）的伸缩 因子和平移因子．对于函数 f （ t）其局部结构的分 辨可以通过调节参数 a、b即调节小波基窗口的大 小和位置来实现．与 Fourier 分析类似基于小波变 换的小波分析同样是将信号函数分解成小波标准正 交基以此构成级数来逼近信号函数．不同的是小 波基是通过平移和伸缩构成的具有良好的局部化 性质依据小波理论达到最佳的函数逼近能力． 目前常用的母小波有 Haar 小波、Shannon 小 波、墨西哥帽小波、样条小波和 Morlet 小波等这些 函数其伸缩和平移可以构成 L 2（R）的标准正交基 使其生成的小波级数可以最佳逼近． 基本小波类型一般针对具体问题进行选择．如 对跳变较多的信号Haar－Walsh 基比较适用；对由 分段多项式结构组成的信号Daubechies 小波比较 适用；如果信号含正弦分量或高频振荡则局部三角 函数基比较合适． 2∙2 复合小波神经网络修正模型 复合小波神经网络是基于小波分析而构成的具 有神经网络思想的模型即用非线性小波基取代了 通常的非线性 Sigmoid 函数．把非线性时间序列表 述通过用所选取的非线性小波基进行线性叠加来实 现也就是用小波级数的有限项来逼近时间序列函 数．实际上用小波基 φab（ t）拟合时间序列 s（ t）的 过程就是信号分解过程即希望把待分析信号 s（ t） ·870· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷