第3章线性代数方程组 3.1基本内容 3.1.1矩阵秩的定义 定义1矩阵A的k阶子式 在m×n矩阵A中任取k行，k列(1≤k≤min(m,n),位于这k行，k列交叉点处的元 素按原来次序组成的行列式，称为A的一个k阶子式。 定义2矩阵A的秩 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有的r+1阶子式（如果有的话）全等 于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为rank(A),简 记为(4)。 定义3满秩阵 设A为n阶方阵，若r(A)=A,则称A为满秩阵。 3.12矩阵秩的性质 (1)4)=(4g (2)2A)=r(A,其中元≠0： (3)(=0等价于A=0: (4)r(4)min(m,n): (5)设A,B为同阶矩阵，则 r(A+B)≤r(A)+rB) (1)设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，则 r(AB)≤min(r(A,r(B) r(AB)≥r(A)+r(B)-n 特别当AB=0时，r(A)+r(B)≤n成立。 [A 07 0 B =r(4)+r(B AC (7) ≥r(A)+r(B) 0 B [A 0 D B ≥(4)+r(B) PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint.cn第 3 章 线性代数方程组 3.1 基本内容 3.1.1 矩阵秩的定义 定义 1 矩阵 A 的 k 阶子式 在 m´ n 矩阵 A 中任取 k 行，k 列(1 £ k £ min(m, n))，位于这 k 行，k 列交叉点处的元 素按原来次序组成的行列式，称为 A 的一个 k 阶子式。 定义 2 矩阵 A 的秩 设在矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有的 r＋1 阶子式（如果有的话）全等 于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记为rank(A) ，简 记为 r(A)。 定义 3 满秩阵 设 A 为 n 阶方阵，若 r(A)＝A，则称 A 为满秩阵。 3.1.2 矩阵秩的性质 （1） r(A ) r(A); T = （2） r(lA) = r(A),其中l ¹ 0 ； （3） r(A) = 0 等价于 A = 0； (4)r(A ) (m n) m n £ min , ´ ； （5）设 A，B 为同阶矩阵，则 r(A + B) £ r(A)+ r(B) （1） 设 A 为 m´ n 矩阵，B 为 n ´ s 矩阵，则 ( ) ( ( ) ( )) r(AB) r( ) A r( ) B n r AB r A r B ³ + - £ min , 特别当 AB＝0 时， r(A)+ r(B) £ n成立。 （7） ( ) ( ) ( ) ( ) r( ) A r( ) B D B A r r A r B B A C r r A r B B A r ³ + ú û ù ê ë é ³ + ú û ù ê ë é = + ú û ù ê ë é 0 0 0 0 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn